Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.6

Combina fracciones.

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Paso 1.1.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.6.3

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Paso 1.1.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.1.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Paso 1.1.10

Combina fracciones.

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Paso 1.1.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

Paso 1.1.10.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

Paso 1.1.10.3

Combina $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$x = 0$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.3.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.1.3

Factoriza.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Paso 3.3.3.1.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.3

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.3.1

Establece ${(x + 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.3.2

Resuelve ${(x + 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.3.3.3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3.3.3.4

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.4.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 3.3.3.4.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.3.3.4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.3.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 3.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Paso 4

Evalúa ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $1$ de $0$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.2.1.3

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 1)}^{1}$

Paso 4.1.2.3

Evalúa el exponente.

$- 1$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.2.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.2.1.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2.2.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$0^{1}$

Paso 4.2.2.3

Evalúa el exponente.

$0$

Paso 4.3

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.2.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.3.2.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Paso 4.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$0^{1}$

Paso 4.3.2.3

Evalúa el exponente.

$0$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Paso 5