Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $x^{2} - 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$- x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = 4$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $- x^{2} = 4$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Paso 2.3.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Divide $4$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Paso 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Paso 2.3.4

Simplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Paso 2.3.4.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Paso 2.3.4.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Paso 2.3.4.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Paso 2.3.4.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.3.4.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Paso 2.3.4.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Paso 2.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2 i$

Paso 2.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2 i$

Paso 2.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2 i, - 2 i$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Paso 3.2.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Paso 3.2.1.3

Aplica la regla del producto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2.3

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.3.1

Establece ${(x + 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2.3.2

Resuelve ${(x + 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.3.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.2.3.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.2.4

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.2.4.1

Establece ${(x - 2)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 3.2.4.2

Resuelve ${(x - 2)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.4.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.2.4.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 3.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Paso 4

Evalúa $\frac{x}{x^{2} - 4}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 2}{4 - 4}$

Paso 4.1.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{- 2}{0}$

Paso 4.1.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2}{4 - 4}$

Paso 4.2.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{2}{0}$

Paso 4.2.2.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 5

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos