Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt[5]{x - 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{5}}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.6.2

Resta $5$ de $1$ .

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.7.2

Combina $\frac{1}{5}$ y ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.7.3

Mueve ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 1.1.10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + 0)$

Paso 1.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

Paso 1.1.11.2

Multiplica $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $5$ ambos lados de la ecuación.

${(5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}$ como ${(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ .

${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ .

$5^{5} {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $5$ .

$3125 {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0^{5}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$

Paso 3.3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ por $3125$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide cada término en $3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ por $3125$ .

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 3.3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $3125$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Paso 3.3.3.1.2.1.2

Divide ${(x - 5)}^{4}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{4} = \frac{0}{3125}$

Paso 3.3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1.3.1

Divide $0$ por $3125$ .

${(x - 5)}^{4} = 0$

Paso 3.3.3.2

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 3.3.3.3

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4

Evalúa $\sqrt[5]{x - 5}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 5$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $5$ por $x$ .

$\sqrt[5]{(5) - 5}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Resta $5$ de $5$ .

$\sqrt[5]{0}$

Paso 4.1.2.2

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$\sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 4.1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$0$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(5, 0)$

Paso 5