Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $3$ de $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.1.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 1.1.3.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 1.1.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 1.1.3.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 1.1.3.9

Combina $5$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Paso 1.1.3.10

Multiplica $2$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.1.3.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.4

Combina $\frac{5}{3}$ y $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Paso 2.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.2.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 2.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.2.6

El MCM de $3, 3, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 2.2.7

El MCM de $x^{\frac{1}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.2.8

El MCM para $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ es la parte numérica $3$ multiplicada por la parte variable.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3

Multiplica $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.3.1

Mueve $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.3.5

Divide $3$ por $3$ .

$5 x^{1} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.4

Simplifica $5 x^{1}$ .

$5 x + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.7

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.3.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$5 x + 10 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$5 x + 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x + 10 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 10$

Paso 2.4.2

Divide cada término en $5 x = - 10$ por $5$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.1

Divide cada término en $5 x = - 10$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Paso 2.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{5}$

Paso 2.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.3.1

Divide $- 10$ por $5$ .

$x = - 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3.1.2

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 3.1.3

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 x = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x = 0$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $0$ por $27$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$0^{5} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.5

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$0 + 5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 4.2.2.1.6

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 4.2.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$0 + 5 \cdot 0^{2}$

Paso 4.2.2.1.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 5 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.9

Multiplica $5$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, {(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Paso 5