Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} - 4 \sqrt{x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 \sqrt{x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2.2

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.1.2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.1.2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.1.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.2.10

Combina $- 4$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.12

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 1.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = 2 x + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Paso 2.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3

Multiplica cada término en $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.3.1

Multiplica cada término en $2 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1.1.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.1.5

Suma $1$ y $2$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ al numerador.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{3}{2}} - 2 = 0$

Paso 2.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.4.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{\frac{3}{2}} = 2$

Paso 2.4.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{2}{3}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.4.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.3.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.3.1.2.3.1

Cancela el factor común.

$2^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3.1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$2^{\frac{2}{3}} x^{1} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3.1.3

Simplifica.

$2^{\frac{2}{3}} x = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.3.1.4

Reordena los factores en $2^{\frac{2}{3}} x$ .

$x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.4.4

Divide cada término en $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ por $2^{\frac{2}{3}}$ y simplifica.

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Paso 2.4.4.1

Divide cada término en $x \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ por $2^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.4.3.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.4.4.3.2

Reescribe la expresión.

$x = 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$2 x - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt{x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{2}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{2}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 3.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 4

Evalúa $x^{2} - 4 \sqrt{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(1)}^{2} - 4 \sqrt{1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 4 \sqrt{1}$

Paso 4.1.2.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1 - 4 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$1 - 4$

Paso 4.1.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$- 3$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} - 4 \sqrt{0}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 4 \sqrt{0}$

Paso 4.2.2.1.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$0 - 4 \sqrt{0^{2}}$

Paso 4.2.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 - 4 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, - 3), (0, 0)$

Paso 5