Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Paso 1

Escribe $y = 5 x^{3} - 3 x$ como una función.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Paso 2

Comprueba si el punto dado está en la gráfica de la función dada.

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Paso 2.1

Evalúa $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ en $x = 1$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Paso 2.1.2.1.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

Paso 2.1.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

Paso 2.1.2.2

Resta $3$ de $5$ .

$f (1) = 2$

Paso 2.1.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 2.2

Como $2 = 2$ , el punto está en la gráfica.

El punto está en la gráfica.

Paso 3

La pendiente de la tangente es la derivada de la expresión.

$m$ $=$ La derivada de $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Paso 4

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 5

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 5.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 5.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Paso 5.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 5.1.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.3.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Paso 5.1.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 5.1.2.2

La respuesta final es $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 5.2

Reordena.

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Paso 5.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 5.2.2

Mueve $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Paso 5.2.3

Mueve $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 5.2.4

Mueve $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 5.2.5

Mueve $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 5.2.6

Reordena $15 h^{2} x$ y $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Paso 5.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Paso 6

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

Paso 7.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Paso 7.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

Paso 7.1.4

Resta $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Paso 7.1.5

Suma $5 h^{3}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Paso 7.1.6

Suma $- 3 x$ y $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Paso 7.1.7

Suma $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Paso 7.1.8

Factoriza $h$ de $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

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Paso 7.1.8.1

Factoriza $h$ de $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Paso 7.1.8.2

Factoriza $h$ de $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Paso 7.1.8.3

Factoriza $h$ de $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

Paso 7.1.8.4

Factoriza $h$ de $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 7.1.8.5

Factoriza $h$ de $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 7.1.8.6

Factoriza $h$ de $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Paso 7.1.8.7

Factoriza $h$ de $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Paso 7.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Paso 7.2.1.2

Divide $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1

Mueve $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

Paso 7.2.2.2

Mueve $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

Paso 7.2.2.3

Reordena $15 x h$ y $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 9

Evalúa el límite de $15 x^{2}$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 10

Mueve el término $15 x$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 11

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 12

Mueve el exponente $2$ de $h^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Paso 13

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 14

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $h$ .

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Paso 14.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 14.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 15

Simplifica la respuesta.

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Paso 15.1

Simplifica cada término.

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Paso 15.1.1

Multiplica $15 x \cdot 0$ .

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Paso 15.1.1.1

Multiplica $0$ por $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 15.1.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Paso 15.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Paso 15.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Paso 15.1.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Paso 15.2

Combina los términos opuestos en $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

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Paso 15.2.1

Suma $15 x^{2}$ y $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

Paso 15.2.2

Suma $15 x^{2}$ y $0$ .

$15 x^{2} - 3$

Paso 16

Obtén la pendiente $m$ . En este caso, $m = 12$ .

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Paso 16.1

Elimina los paréntesis.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

Paso 16.2

Simplifica $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

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Paso 16.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

Paso 16.2.1.2

Multiplica $15$ por $1$ .

$m = 15 - 3$

Paso 16.2.2

Resta $3$ de $15$ .

$m = 12$

Paso 17

La pendiente es $m = 12$ y el punto es $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

Paso 18

Obtén el valor de $b$ con la fórmula para la ecuación de una línea.

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Paso 18.1

Usa la fórmula para la ecuación de una línea para obtener $b$ .

$y = m x + b$

Paso 18.2

Sustituye el valor de $m$ en la ecuación.

$y = (12) \cdot x + b$

Paso 18.3

Sustituye el valor de $x$ en la ecuación.

$y = (12) \cdot (1) + b$

Paso 18.4

Sustituye el valor de $y$ en la ecuación.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

Paso 18.5

Obtén el valor de $b$ .

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Paso 18.5.1

Reescribe la ecuación como $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

Paso 18.5.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$12 + b = 2$

Paso 18.5.3

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 18.5.3.1

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$b = 2 - 12$

Paso 18.5.3.2

Resta $12$ de $2$ .

$b = - 10$

Paso 19

Ahora que se conocen los valores de $m$ (pendiente) y $b$ (intersección con y), sustitúyelos en $y = m x + b$ para obtener la ecuación de la línea.

$y = 12 x - 10$

Paso 20