Cálculo Ejemplos

$x^{2} y^{2} = 36$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} y^{2} = 36$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x^{2} y^{2} = 36$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{x^{2}}$

Paso 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$

Paso 1.3

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$ .

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Paso 1.3.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}$

Paso 1.3.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm \frac{6}{x}$

Paso 1.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{6}{x}$

Paso 1.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{6}{x}$

Paso 1.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{6}{x} \to f (x) = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x} \to f (x) = - \frac{6}{x}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Paso 3.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Paso 3.3

Como $36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Resta $2 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ por $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Paso 3.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Paso 3.5.2.3.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ y $y$ .

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Paso 3.5.2.3.2.1

Factoriza $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Paso 3.5.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.2.2.1

Factoriza $y$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Paso 3.5.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Paso 3.5.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Paso 3.5.2.3.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.3.3.1

Factoriza $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Paso 3.5.2.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Paso 3.5.2.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Paso 3.5.2.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y}{x}$

Paso 3.5.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{x}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{y}{x} = 0$ .

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $- \frac{y}{x} = 0$ por $x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{y}{x} = 0$ por $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x}$ al numerador.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

Paso 4.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- y = 0 x$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$- y = 0$

Paso 4.3

Divide cada término en $- y = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- y = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.3.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$y = 0$

Paso 4.4

La variable $x$ se canceló.

Todos los números reales

Paso 5

Solve the function $f (x) = \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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Paso 5.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $l$ por $l$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1

Mueve $l$ .

Paso 5.2.1.2

Multiplica $l$ por $l$ .

Paso 5.2.2

Multiplica $l^{2}$ por $l$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1

Mueve $l$ .

Paso 5.2.2.2

Multiplica $l$ por $l^{2}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Eleva $l$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Paso 5.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

Paso 5.2.3

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Mueve $r$ .

Paso 5.2.3.2

Multiplica $r$ por $r$ .

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.4.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

Paso 5.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Paso 5.2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

Paso 5.2.5

La respuesta final es $\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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Paso 6.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $l$ por $l$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1.1

Mueve $l$ .

Paso 6.2.1.2

Multiplica $l$ por $l$ .

Paso 6.2.2

Multiplica $l^{2}$ por $l$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1

Mueve $l$ .

Paso 6.2.2.2

Multiplica $l$ por $l^{2}$ .

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Paso 6.2.2.2.1

Eleva $l$ a la potencia de $1$ .

Paso 6.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Paso 6.2.2.3

Suma $1$ y $2$ .

Paso 6.2.3

Multiplica $r$ por $r$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.3.1

Mueve $r$ .

Paso 6.2.3.2

Multiplica $r$ por $r$ .

Paso 6.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.4.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

Paso 6.2.4.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

Paso 6.2.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

Paso 6.2.4.4

Suma $1$ y $1$ .

Paso 6.2.5

La respuesta final es $- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ .

$- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

$y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

Paso 8