Cálculo Ejemplos

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Paso 1.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Paso 1.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Paso 1.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Paso 1.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Paso 3.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Diferencia.

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Paso 3.3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Paso 3.3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.5.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Paso 3.5.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Paso 3.5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Paso 3.5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y, y, 1$

Paso 4.1.2

Como $2 y, y, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $2, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{1}, y^{1}$ .

Paso 4.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 4.1.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 4.1.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 4.1.6

El MCM de $2, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2$

Paso 4.1.7

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 4.1.8

El MCM de $y^{1}, y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y$

Paso 4.1.9

El MCM para $2 y, y, 1$ es la parte numérica $2$ multiplicada por la parte variable.

$2 y$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ por $2 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ por $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $2 \frac{3 x}{y}$ .

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Paso 4.2.2.1.5.1

Combina $2$ y $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.5.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Paso 4.2.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Multiplica $0 (2 y)$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $0$ por $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} + 6 x$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $3 x$ de $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.3.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.3.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Suma $0$ y $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Paso 5.2.2

Multiplica $0$ por $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Paso 6.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Paso 7.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Paso 7.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (- 2) = 2$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Paso 9