Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.6

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.7

Suma $2 x - 8$ y $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.2.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

Paso 1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

Paso 1.2.11.2

Multiplica $x^{2} - 8 x + 7$ por $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4

Combina los términos.

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Paso 1.3.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.6

Mueve $- 8$ a la izquierda de $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.7

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.8

Resta $8 x$ de $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.9

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

Paso 1.3.4.10

Resta $8 x$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

Paso 1.3.4.11

Suma $8$ y $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 18 x + 15$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $3$ de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $3$ de $15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Paso 2.1.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Paso 2.1.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{2} - 6 x + 5$ con el método AC.

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Paso 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $5$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 5, - 1$

Paso 2.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 5, 1$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ en $x = 5$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 8$ por $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Resta $40$ de $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

Paso 3.2.3.2

Suma $- 15$ y $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

Paso 3.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f (5) = - 32$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $- 32$ .

$- 32$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ en $x = 1$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

Paso 4.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.3.1

Resta $8$ de $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

Paso 4.2.3.2

Suma $- 7$ y $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

Paso 4.2.3.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Paso 4.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ son $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

Paso 6