Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Paso 1.4.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1

Reordena $2 \cos (x)$ y $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Paso 1.4.2.2

Reordena $\sin (x)$ y $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Paso 1.4.2.3

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 2.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.4.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.4.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.4.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.4.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.4.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.4.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.4.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $\sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $\sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sin (x) = - 1$

Paso 2.5.2.2

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2.4

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.5.2.5.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.5.2.5.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5.2.6

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.5.2.7

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.5.2.7.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 2.5.2.7.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2.7.3

Combina fracciones.

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Paso 2.5.2.7.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.5.2.7.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.5.2.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.7.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.5.2.7.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.5.2.7.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.5.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Paso 3.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

Paso 3.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Paso 3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ en $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + π$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.2

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.4.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.4.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.5

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.6

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Paso 4.2.1.8

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Paso 4.2.1.9

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Paso 4.2.1.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Paso 4.2.1.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.11.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Paso 4.2.1.11.2

Suma $π$ y $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Paso 4.2.1.12

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Paso 4.2.1.13

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Paso 4.2.1.14

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Paso 4.2.1.15

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

Paso 4.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ es $y = 3, y = - 1$ .

$y = 3, y = - 1$

Paso 6