Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

Paso 1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Paso 1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Paso 1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Paso 1.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.7

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.9

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 (2 x - 2 + 0)$

Paso 1.11

Suma $2 x - 2$ y $0$ .

$2 (2 x - 2)$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

Paso 1.12.2

Combina los términos.

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Paso 1.12.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 2$

Paso 1.12.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 x - 4$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $4 x - 4 = 0$ .

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Paso 2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 4$

Paso 2.2

Divide cada término en $4 x = 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $4 x = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $4$ por $4$ .

$x = 1$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ en $x = 1$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

Paso 3.2.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (1) = 2 \cdot 0$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ es $y = 0$ .

$y = 0$

Paso 5