Cálculo Ejemplos

$f (x) = x e^{- x}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Paso 1.3.5

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Paso 2.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $e^{- x}$ de $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Paso 2.1.2

Multiplica por $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $e^{- x}$ igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $e^{- x} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Paso 2.3.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 2.3.2.3

No hay soluciones para $e^{- x} = 0$

No hay solución

Paso 2.4

Establece $- x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $- x + 1$ igual a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $- x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{- x} (- x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x e^{- x}$ en $x = 1$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Multiplica $e^{- (1)}$ por $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Paso 3.2.4

La respuesta final es $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = x e^{- x}$ es $y = \frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Paso 5