Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 \cdot 1$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 6 = 0$ .

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Paso 2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = 6$

Paso 2.2

Divide cada término en $3 x^{2} = 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $3 x^{2} = 6$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{6}{3}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{3}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$x^{2} = 2$

Paso 2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 6 x$ en $x = \sqrt{2}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{2}$ en la expresión.

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{3} - 6 \sqrt{2}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{3}} - 6 \sqrt{2}$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{8} - 6 \sqrt{2}$

Paso 3.2.1.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{4 (2)} - 6 \sqrt{2}$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{2}$

Paso 3.2.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$

Paso 3.2.2

Resta $6 \sqrt{2}$ de $2 \sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2}$

Paso 3.2.3

La respuesta final es $- 4 \sqrt{2}$ .

$- 4 \sqrt{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 6 x$ en $x = - \sqrt{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{2}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{3} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{3}} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{8} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.5

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{4 (2)} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2^{2} \cdot 2} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$f (- \sqrt{2}) = - (2 \sqrt{2}) - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} - 6 (- \sqrt{2})$

Paso 4.2.1.8

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}$

Paso 4.2.2

Suma $- 2 \sqrt{2}$ y $6 \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2}$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 6 x$ son $y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$ .

$y = - 4 \sqrt{2}, y = 4 \sqrt{2}$

Paso 6