Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece el numerador igual a cero.

$- x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 1$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Paso 2.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.2.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ en $x = 1$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

Paso 3.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2}$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ en $x = - 1$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

Paso 4.2.1.2

Suma $1$ y $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ son $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

Paso 6