Cálculo Ejemplos

$y = 7 x - x^{2}$

Paso 1

Reordena $7 x$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 7 x$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 7 x$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 7 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [7 x]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x + 7 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $7$ por $1$ .

$- 2 x + 7$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 x + 7 = 0$ .

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Paso 4.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 7$

Paso 4.2

Divide cada término en $- 2 x = - 7$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 7$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{7}{2}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = - x^{2} + 7 x$ en $x = \frac{7}{2}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{7}{2}) = - {(\frac{7}{2})}^{2} + 7 (\frac{7}{2})$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{7^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

Paso 5.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

Paso 5.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + 7 (\frac{7}{2})$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $7 (\frac{7}{2})$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Combina $7$ y $\frac{7}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{7 \cdot 7}{2}$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $7$ por $7$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2}$

Paso 5.2.2

Para escribir $\frac{49}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{49}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{4}$

Paso 5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 49 \cdot 2}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.5.1

Multiplica $49$ por $2$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 98}{4}$

Paso 5.2.5.2

Suma $- 49$ y $98$ .

$f (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4}$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $\frac{49}{4}$ .

$\frac{49}{4}$

Paso 6

La tangente horizontal en la función $f (x) = - x^{2} + 7 x$ es $y = \frac{49}{4}$ .

$y = \frac{49}{4}$

Paso 7