Cálculo Ejemplos

$y = x + \cos (x)$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x + \cos (x)$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $1 - \sin (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- \sin (x) = - 1$

Paso 3.2

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Paso 3.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (1)$

Paso 3.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.1

El valor exacto de $\arcsin (1)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Paso 3.6

Simplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 3.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.6.2

Combina fracciones.

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Paso 3.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 3.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 3.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Paso 3.6.3.2

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 3.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x + \cos (x)$ en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

Paso 4.2.2

Suma $\frac{π}{2}$ y $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x + \cos (x)$ en $x = \frac{π}{2} + 2 π$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{2} + 2 π$ en la expresión.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.1.1

Escribe $2 π$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $\frac{2 π}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $\frac{2 π}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

Paso 5.2.1.4

Escribe $\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.3

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.5.2

Suma $π$ y $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.6

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.7

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

Paso 5.2.3.8

Multiplica $0$ por $2$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Suma $π$ y $4 π$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

Paso 5.2.4.2

Suma $5 π$ y $0$ .

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

Paso 5.2.5

La respuesta final es $\frac{5 π}{2}$ .

$\frac{5 π}{2}$

Paso 6

La tangente horizontal en la función $f (x) = x + \cos (x)$ es $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

Paso 7