Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 2 x^{2} - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1$

Paso 3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 0.2367329$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ en $x = 0.2367329$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.2367329$ en la expresión.

$f (0.2367329) = {(0.2367329)}^{4} + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Eleva $0.2367329$ a la potencia de $4$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Paso 4.2.1.2

Eleva $0.2367329$ a la potencia de $2$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 \cdot 0.05604246 - (0.2367329)$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $2$ por $0.05604246$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - (0.2367329)$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $0.2367329$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - 0.2367329$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0.00314075$ y $0.11208493$ .

$f (0.2367329) = 0.11522569 - 0.2367329$

Paso 4.2.2.2

Resta $0.2367329$ de $0.11522569$ .

$f (0.2367329) = - 0.12150721$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 0.12150721$ .

$- 0.12150721$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ es $y = - 0.12150721$ .

$y = - 0.12150721$

Paso 6