Cálculo Ejemplos

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.2

Factoriza $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $2$ de $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2$ de $4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $2$ de $- 2 \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.2.1.1

Reordena los términos.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

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Paso 2.2.2.1.2.1

Factoriza $- 1$ de $- \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.2.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.2.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Paso 2.2.2.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 \cos (x) + 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 2.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 2.4.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 2.4.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 2.4.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 2.4.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 2.4.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 2.4.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 2.4.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 2.4.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 2.4.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.4.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.5

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 2.5.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 2.5.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 2.5.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.5.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.5.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.5.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.5.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.5.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.7

Consolida las respuestas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ en $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $2 (\frac{2 π}{3})$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Combina $2$ y $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3.2.1.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3.2.1.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3.2.1.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 3.2.1.5

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

Paso 3.2.1.7

Reescribe $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Paso 3.2.2

Para escribir $- \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 3.2.3

Combina fracciones.

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Paso 3.2.3.1

Combina $- \sqrt{3}$ y $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Paso 3.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.4.2

Resta $2 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 4

La tangente horizontal en la función $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ es $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

Paso 6