Cálculo Ejemplos

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Paso 2

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Resuelve la función original $f (x) = x + 2 \sin (x)$ en $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 3.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 3.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 3.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 3.2.2

La respuesta final es $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x + 2 \sin (x)$ en $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{4 π}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 4.2.1.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 4.2.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Paso 4.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Paso 4.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Paso 5

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x + 2 \sin (x)$ son $y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Paso 6