Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 14 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 14$ .

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ y cuya suma es $b = - 28$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $- 28$ de $- 28 x$ .

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

Paso 3.1.1.2

Reescribe $- 28$ como $- 1$ más $- 27$

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

Paso 3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

Paso 3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Paso 3.3

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $3 x - 1$ igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Paso 3.3.2

Resuelve $3 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 1$

Paso 3.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Paso 3.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Paso 3.4

Establece $x - 9$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 9$ igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 9$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 1) (x - 9) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{3}, 9$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ en $x = \frac{1}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.7

Combina $- 14$ y $\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.9.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

Paso 4.2.1.9.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

Paso 4.2.1.9.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

Paso 4.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{14}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $\frac{14}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

Paso 4.2.2.3

Escribe $3$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Paso 4.2.2.4

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $\frac{3}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Paso 4.2.2.6

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Paso 4.2.2.7

Multiplica $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

Paso 4.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.1

Multiplica $- 14$ por $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

Paso 4.2.4.2

Multiplica $3$ por $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

Paso 4.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.5.1

Resta $42$ de $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

Paso 4.2.5.2

Suma $- 41$ y $81$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

Paso 4.2.6

La respuesta final es $\frac{40}{27}$ .

$\frac{40}{27}$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ en $x = 9$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

Paso 5.2.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 14$ por $81$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $9$ por $9$ .

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $1134$ de $729$ .

$f (9) = - 405 + 81$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 405$ y $81$ .

$f (9) = - 324$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 324$ .

$- 324$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ son $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ .

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

Paso 7