Cálculo Ejemplos

$y = x + \sin (x y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + \sin (x y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Paso 3.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Paso 3.3.2

Reordena los términos.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Paso 5.2

Resta $x y' \cos (x y)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Paso 5.3

Factoriza $y'$ de $y' - x y' \cos (x y)$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Paso 5.3.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Paso 5.4

Divide cada término en $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ por $1 - x \cos (x y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ por $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - x \cos (x y)$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y \cos (x y) = - 1$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $y \cos (x y) = - 1$ por $y$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $y \cos (x y) = - 1$ por $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x y)$ por $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Paso 7.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Paso 7.2.4

Divide cada término en $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ por $y$ y simplifica.

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Paso 7.2.4.1

Divide cada término en $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Paso 7.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 7.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Paso 7.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Paso 8.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Paso 8.1.1.2

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ y el origen. Entonces $\arccos (- \frac{1}{y})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . Por lo tanto, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ es $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Paso 8.1.1.3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Paso 8.1.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Paso 8.1.1.5

Multiplica $- - \frac{1}{y}$ .

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Paso 8.1.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Paso 8.1.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Paso 8.1.1.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Paso 8.1.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Paso 8.1.1.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Paso 8.1.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Paso 8.1.1.10

Multiplica $\frac{y - 1}{y}$ por $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Paso 8.1.1.11

Multiplica $y$ por $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Paso 8.1.1.12

Reescribe $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ como ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

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Paso 8.1.1.12.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Paso 8.1.1.12.2

Factoriza la potencia perfecta $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Paso 8.1.1.12.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Paso 8.1.1.13

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Paso 8.1.1.14

Combina $\frac{1}{y}$ y $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Paso 8.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Paso 8.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$y \approx 1.94368519$

Paso 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

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Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Paso 9.2

Simplifica $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.1

Divide $1$ por $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Paso 9.2.1.3

Evalúa $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Paso 9.2.2

Divide $2.11120515$ por $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Paso 11