Cálculo Ejemplos

$7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x y]$ .

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Paso 2.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x y$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$14 x + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$14 x + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$14 x + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 x + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 y^{2}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 9 (2 y y')$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$14 x + 6 (x y' + y) + 18 y y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 x + 6 (x y') + 6 y + 18 y y'$

Paso 2.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$14 x + 6 x y' + 6 y + 18 y y'$

Paso 2.5.3

Reordena los términos.

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x y' + 18 y y' + 14 x + 6 y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $14 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x y' + 18 y y' + 6 y = - 14 x$

Paso 5.1.2

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x y' + 18 y y' = - 14 x - 6 y$

Paso 5.2

Factoriza $6 y'$ de $6 x y' + 18 y y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $6 y'$ de $6 x y'$ .

$6 y' x + 18 y y' = - 14 x - 6 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $6 y'$ de $18 y y'$ .

$6 y' x + 6 y' (3 y) = - 14 x - 6 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $6 y'$ de $6 y' x + 6 y' (3 y)$ .

$6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$ por $6 (x + 3 y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $6 y' (x + 3 y) = - 14 x - 6 y$ por $6 (x + 3 y)$ .

$\frac{6 y' (x + 3 y)}{6 (x + 3 y)} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y' (x + 3 y)}{6 (x + 3 y)} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x + 3 y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 3 y)}{x + 3 y} = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 14 x}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 14$ y $6$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 14 x$ .

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{6 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $6 (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{2 (3 (x + 3 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 7 x)}{2 (3 (x + 3 y))} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 6 y}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $6$ de $- 6 y$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{6 (- y)}{6 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} + \frac{- y}{x + 3 y}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y}{x + 3 y}$

Paso 5.3.3.2

Para escribir $- \frac{y}{x + 3 y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y}{x + 3 y} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 5.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $3 (x + 3 y)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica $\frac{y}{x + 3 y}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y \cdot 3}{(x + 3 y) \cdot 3}$

Paso 5.3.3.3.2

Reordena los factores de $(x + 3 y) \cdot 3$ .

$y' = - \frac{7 x}{3 (x + 3 y)} - \frac{y \cdot 3}{3 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 7 x - y \cdot 3}{3 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$y' = \frac{- 7 x - 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 7 x$ .

$y' = \frac{- (7 x) - 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 3 y$ .

$y' = \frac{- (7 x) - (3 y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (7 x) - (3 y)$ .

$y' = \frac{- (7 x + 3 y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.9.1

Reescribe $- (7 x + 3 y)$ como $- 1 (7 x + 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (7 x + 3 y)}{3 (x + 3 y)}$

Paso 5.3.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{7 x + 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 x + 3 y}{3 (x + 3 y)}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$7 x + 3 y = 0$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.2.1

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$7 x = - 3 y$

Paso 7.2.2

Divide cada término en $7 x = - 3 y$ por $7$ y simplifica.

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Paso 7.2.2.1

Divide cada término en $7 x = - 3 y$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 3 y}{7}$

Paso 7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 3 y}{7}$

Paso 7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{7}$

Paso 7.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 y}{7}$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica $7 {(- \frac{3 y}{7})}^{2} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2}$ .

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3 y}{7}$ .

$7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 y}{7})}^{2}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3 y}{7}$ .

$7 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 y)}^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.1.3

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$7 (1 \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}) + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.3

Multiplica $\frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}}$ por $1$ .

$7 \frac{3^{2} y^{2}}{7^{2}} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$7 \frac{9 y^{2}}{7^{2}} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.5

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$7 \frac{9 y^{2}}{49} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 8.1.1.6.1

Factoriza $7$ de $49$ .

$7 \frac{9 y^{2}}{7 (7)} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$7 \frac{9 y^{2}}{7 \cdot 7} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9 y^{2}}{7} + 6 (- \frac{3 y}{7}) \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.7

Multiplica $6 (- \frac{3 y}{7})$ .

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Paso 8.1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - 6 \frac{3 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.7.2

Combina $- 6$ y $\frac{3 y}{7}$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} + \frac{- 6 (3 y)}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.7.3

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} + \frac{- 18 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y}{7} \cdot y + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.9

Multiplica $- \frac{18 y}{7} y$ .

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Paso 8.1.1.9.1

Combina $y$ y $\frac{18 y}{7}$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{y (18 y)}{7} + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.9.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 (y^{1} y)}{7} + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.9.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 (y^{1} y^{1})}{7} + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y^{1 + 1}}{7} + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.1.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 y^{2}}{7} - \frac{18 y^{2}}{7} + 9 y^{2} = 0$

Paso 8.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 8.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 y^{2} + \frac{9 y^{2} - 18 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.1.2.2

Resta $18 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$9 y^{2} + \frac{- 9 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.1.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 y^{2} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.1.3

Para escribir $9 y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$9 y^{2} \cdot \frac{7}{7} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.1.4

Simplifica los términos.

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Paso 8.1.4.1

Combina $9 y^{2}$ y $\frac{7}{7}$ .

$\frac{9 y^{2} \cdot 7}{7} - \frac{9 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.1.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 y^{2} \cdot 7 - 9 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.5.1

Factoriza $9 y^{2}$ de $9 y^{2} \cdot 7 - 9 y^{2}$ .

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Paso 8.1.5.1.1

Factoriza $9 y^{2}$ de $9 y^{2} \cdot 7$ .

$\frac{9 y^{2} (7) - 9 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.1.5.1.2

Factoriza $9 y^{2}$ de $- 9 y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2} (7) + 9 y^{2} (- 1)}{7} = 0$

Paso 8.1.5.1.3

Factoriza $9 y^{2}$ de $9 y^{2} (7) + 9 y^{2} (- 1)$ .

$\frac{9 y^{2} (7 - 1)}{7} = 0$

Paso 8.1.5.2

Resta $1$ de $7$ .

$\frac{9 y^{2} \cdot 6}{7} = 0$

Paso 8.1.5.3

Multiplica $6$ por $9$ .

$\frac{54 y^{2}}{7} = 0$

Paso 8.2

Establece el numerador igual a cero.

$54 y^{2} = 0$

Paso 8.3

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 8.3.1

Divide cada término en $54 y^{2} = 0$ por $54$ y simplifica.

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Paso 8.3.1.1

Divide cada término en $54 y^{2} = 0$ por $54$ .

$\frac{54 y^{2}}{54} = \frac{0}{54}$

Paso 8.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común de $54$ .

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Paso 8.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{54 y^{2}}{54} = \frac{0}{54}$

Paso 8.3.1.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{0}{54}$

Paso 8.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1.3.1

Divide $0$ por $54$ .

$y^{2} = 0$

Paso 8.3.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{0}$

Paso 8.3.3

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 8.3.3.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 8.3.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \pm 0$

Paso 8.3.3.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$y = 0$

Paso 9

Simplifica $- \frac{3 (0)}{7}$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $0$ y $7$ .

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Paso 9.1.1

Factoriza $7$ de $3 (0)$ .

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7}$

Paso 9.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.2.1

Factoriza $7$ de $7$ .

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7 (1)}$

Paso 9.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{7 (3 \cdot (0))}{7 \cdot 1}$

Paso 9.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{3 \cdot (0)}{1}$

Paso 9.1.2.4

Divide $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$x = - (3 \cdot (0))$

Paso 9.2

Multiplica $- (3 \cdot (0))$ .

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Paso 9.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$x = - 0$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$x = 0$

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

Paso 11