Cálculo Ejemplos

$x^{2} + x y = 10$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

Paso 2.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y$

Paso 2.3

Reordena los términos.

$x y' + 2 x + y$

Paso 3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x y' + 2 x + y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + y = - 2 x$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' = - 2 x - y$

Paso 5.2

Divide cada término en $x y' = - 2 x - y$ por $x$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $x y' = - 2 x - y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Divide $- 2$ por $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

Paso 5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y}{x} = 2$

Paso 7.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1$

Paso 7.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x$

Paso 7.3

Multiplica cada término en $- \frac{y}{x} = 2$ por $x$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{y}{x} = 2$ por $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{x}$ al numerador.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Paso 7.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Paso 7.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- y = 2 x$

Paso 7.4

Resuelve la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Reescribe la ecuación como $2 x = - y$ .

$2 x = - y$

Paso 7.4.2

Divide cada término en $2 x = - y$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Divide cada término en $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Paso 7.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Paso 7.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Paso 7.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{y}{2}$

Paso 8

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Paso 8.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Paso 8.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Paso 8.1.1.3

Multiplica $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Paso 8.1.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Paso 8.1.1.5

Multiplica $(- \frac{y}{2}) y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1.5.1

Combina $y$ y $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

Paso 8.1.1.5.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

Paso 8.1.1.5.3

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

Paso 8.1.1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

Paso 8.1.1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

Paso 8.1.2

Para escribir $- \frac{y^{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Paso 8.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.3.1

Multiplica $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

Paso 8.1.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Paso 8.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Paso 8.1.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.5.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.5.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Paso 8.1.5.1.2

Factoriza $y^{2}$ de $- y^{2} \cdot 2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Paso 8.1.5.1.3

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Paso 8.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

Paso 8.1.5.3

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

Paso 8.1.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.6.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

Paso 8.1.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

Paso 8.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Simplifica $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{4}$ al numerador.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

Paso 8.3.1.1.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.2.1

Multiplica $- 4$ por $10$ .

$y^{2} = - 40$

Paso 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

Paso 8.5

Simplifica $\pm \sqrt{- 40}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Reescribe $- 40$ como $- 1 (40)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

Paso 8.5.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (40)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

Paso 8.5.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

Paso 8.5.4

Reescribe $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.4.1

Factoriza $4$ de $40$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

Paso 8.5.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Paso 8.5.5

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

Paso 8.5.6

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

Paso 8.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = 2 i \sqrt{10}$

Paso 8.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

Paso 8.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

Paso 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Paso 9.2.2

Divide $i \sqrt{10}$ por $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

Paso 10

Simplifica $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 i \sqrt{10}$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

Paso 10.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

Paso 10.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Paso 10.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

Paso 10.1.2.4

Divide $- i \sqrt{10}$ por $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

Paso 10.2

Multiplica $- (- i \sqrt{10})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

Paso 10.2.2

Multiplica $\sqrt{10}$ por $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

Paso 11

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

Paso 12