Cálculo Ejemplos

$x^{6} = \cot (y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cot (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ por $- \csc^{2} (y)$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ por $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $\csc^{2} (y)$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

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Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$6 x^{5} = 0$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 7.2.1

Divide cada término en $6 x^{5} = 0$ por $6$ y simplifica.

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Paso 7.2.1.1

Divide cada término en $6 x^{5} = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 7.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 7.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Paso 7.2.1.2.1.2

Divide $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Paso 7.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.1.3.1

Divide $0$ por $6$ .

$x^{5} = 0$

Paso 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Paso 7.2.3

Simplifica $\sqrt[5]{0}$ .

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Paso 7.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Paso 7.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Reescribe la ecuación como $\cot (y) = 0^{6}$ .

$\cot (y) = 0^{6}$

Paso 8.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\cot (y) = 0$

Paso 8.3

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la cotangente.

$y = arccot (0)$

Paso 8.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Paso 8.5

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$y = π + \frac{π}{2}$

Paso 8.6

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 8.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 8.6.2

Combina fracciones.

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Paso 8.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 8.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 8.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.6.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 8.6.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Paso 8.7

Obtén el período de $\cot (y)$ .

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Paso 8.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 8.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 8.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 8.7.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 8.8

El período de la función $\cot (y)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8.9

Consolida las respuestas.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Paso 10