Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}}$ , $[- 27, 27]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Paso 1.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 1.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 1.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Paso 1.1.1.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Paso 1.1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Paso 1.1.1.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.1.1.9

Combina $3$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Paso 1.1.1.10

Multiplica.

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Paso 1.1.1.10.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Paso 1.1.1.10.2

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.1.11

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.1.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.1.12.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 1.1.1.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.1.12.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 = 0$

Paso 1.2.3

Como $2 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.4

Evalúa $3 x^{\frac{2}{3}}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.1.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1.4.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 1.4.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.4.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 1.4.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 0^{2}$

Paso 1.4.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.1.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0$

Paso 1.4.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 2

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 2.1

Evalúa en $x = - 27$ .

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Paso 2.1.1

Sustituye $- 27$ por $x$ .

$3 {(- 27)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.1.2

Simplifica.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe $- 27$ como ${(- 3)}^{3}$ .

$3 {({(- 3)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 {(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 2.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 {(- 3)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$3 {(- 3)}^{2}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.3.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 9$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$27$

Paso 2.2

Evalúa en $x = 27$ .

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Paso 2.2.1

Sustituye $27$ por $x$ .

$3 {(27)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$3 {(3^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Paso 2.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$3 \cdot 3^{3 (\frac{2}{3})}$

Paso 2.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 3^{2}$

Paso 2.2.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 9$

Paso 2.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$27$

Paso 2.3

Enumera todos los puntos.

$(- 27, 27), (27, 27)$

Paso 3

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 27, 27), (27, 27)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Paso 4