Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ , $[- 2, 0]$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.3.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Paso 1.1.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 2 x - 8$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 8$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 2 x - 8$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ y cuya suma es $b = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1.1

Factoriza $- 2$ de $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Paso 1.2.2.1.2

Reescribe $- 2$ como $4$ más $- 6$

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

Paso 1.2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

Paso 1.2.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

Paso 1.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.4

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Establece $3 x + 4$ igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resuelve $3 x + 4 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 1.2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 1.2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 1.4

Evalúa $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Evalúa en $x = - \frac{4}{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Sustituye $- \frac{4}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{64}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{64}{27} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.6

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.6.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.6.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.6.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{3} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.10

Multiplica $- 8 (- \frac{4}{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + 8 (\frac{4}{3}) + 4$

Paso 1.4.1.2.1.10.2

Combina $8$ y $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 4$

Paso 1.4.1.2.1.10.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 4$

Paso 1.4.1.2.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.2.1

Multiplica $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + 4$

Paso 1.4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} + 4$

Paso 1.4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9} + 4$

Paso 1.4.1.2.2.4

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 4$

Paso 1.4.1.2.2.5

Escribe $4$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1}$

Paso 1.4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Paso 1.4.1.2.2.7

Multiplica $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.2.8

Reordena los factores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.2.9

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.2.10

Multiplica $3$ por $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 64 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.4.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$\frac{- 64 - 48 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.4.2

Multiplica $32$ por $9$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 4 \cdot 27}{27}$

Paso 1.4.1.2.4.3

Multiplica $4$ por $27$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 108}{27}$

Paso 1.4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.2.5.1

Resta $48$ de $- 64$ .

$\frac{- 112 + 288 + 108}{27}$

Paso 1.4.1.2.5.2

Suma $- 112$ y $288$ .

$\frac{176 + 108}{27}$

Paso 1.4.1.2.5.3

Suma $176$ y $108$ .

$\frac{284}{27}$

Paso 1.4.2

Evalúa en $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 1.4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 1.4.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 1.4.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$8 - 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Paso 1.4.2.2.1.4

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$8 - 4 - 16 + 4$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.2.2.1

Resta $4$ de $8$ .

$4 - 16 + 4$

Paso 1.4.2.2.2.2

Resta $16$ de $4$ .

$- 12 + 4$

Paso 1.4.2.2.2.3

Suma $- 12$ y $4$ .

$- 8$

Paso 1.4.3

Enumera todos los puntos.

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27}), (2, - 8)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Evalúa en $x = - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

Paso 3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 8 - 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 8$ por $- 2$ .

$- 8 - 4 + 16 + 4$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.1

Resta $4$ de $- 8$ .

$- 12 + 16 + 4$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $- 12$ y $16$ .

$4 + 4$

Paso 3.1.2.2.3

Suma $4$ y $4$ .

$8$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

Paso 3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

Paso 3.2.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 0 - 8 \cdot 0 + 4$

Paso 3.2.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 4$

Paso 3.2.2.1.4

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 4$

Paso 3.2.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 0 + 4$

Paso 3.2.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 4$

Paso 3.2.2.2.3

Suma $0$ y $4$ .

$4$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(- 2, 8), (0, 4)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

Mínimo absoluto: $(0, 4)$

Paso 5