Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 20 x$ con respecto a $x$ es $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 16 x - 20$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Paso 2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 16$ y $c = - 20$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.3

Suma $256$ y $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.4

Reescribe $496$ como $4^{2} \cdot 31$ .

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Paso 2.4.1.4.1

Factoriza $16$ de $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Paso 2.4.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.3

Suma $256$ y $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.4

Reescribe $496$ como $4^{2} \cdot 31$ .

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Paso 2.5.1.4.1

Factoriza $16$ de $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Paso 2.5.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Paso 2.5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 12$ por $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.3

Suma $256$ y $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4

Reescribe $496$ como $4^{2} \cdot 31$ .

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Paso 2.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $496$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Paso 2.6.3

Simplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Paso 2.6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Paso 2.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.0451763$ en la expresión.

$f' (- 2.0451763) = 3 {(- 2.0451763)}^{2} - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.0451763$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2.0451763) = 3 \cdot 4.18274609 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $4.18274609$ .

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $- 2.0451763$ .

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 + 32.7228208 - 20$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $12.54823829$ y $32.7228208$ .

$f' (- 2.0451763) = 45.27105909 - 20$

Paso 5.2.2.2

Resta $20$ de $45.27105909$ .

$f' (- 2.0451763) = 25.27105909$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $25.27105909$ .

$25.27105909$

Paso 5.3

En $x = - 2.0451763$ la derivada es $25.27105909$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.6666666$ en la expresión.

$f' (2.6666666) = 3 {(2.6666666)}^{2} - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $2.6666666$ a la potencia de $2$ .

$f' (2.6666666) = 3 \cdot 7.11111075 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $7.11111075$ .

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $2.6666666$ .

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 42.6666656 - 20$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 6.2.2.1

Resta $42.6666656$ de $21.33333226$ .

$f' (2.6666666) = - 21.\overline{3} - 20$

Paso 6.2.2.2

Resta $20$ de $- 21.\overline{3}$ .

$f' (2.6666666) = - 41.\overline{3}$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 41.\overline{3}$ .

$- 41.\overline{3}$

Paso 6.3

En $x = 2.6666666$ la derivada es $- 41.\overline{3}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ .

Decrecimiento en $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $7.3785095$ en la expresión.

$f' (7.3785095) = 3 {(7.3785095)}^{2} - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $7.3785095$ a la potencia de $2$ .

$f' (7.3785095) = 3 \cdot 54.44240244 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $54.44240244$ .

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 16$ por $7.3785095$ .

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 118.056152 - 20$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $118.056152$ de $163.32720732$ .

$f' (7.3785095) = 45.27105532 - 20$

Paso 7.2.2.2

Resta $20$ de $45.27105532$ .

$f' (7.3785095) = 25.27105532$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $25.27105532$ .

$25.27105532$

Paso 7.3

En $x = 7.3785095$ la derivada es $25.27105532$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}), (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$

Paso 9