Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 50 x^{2} + 1$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 50 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 50 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 50 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 50 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 50$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 50 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 50 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 50 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 50 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 50$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 100 x + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 100 x + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 100 x$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 100 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 100 x$ .

$4 x^{3} - 100 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 100 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 100 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 100 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 100 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 100 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 25) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 25)$ .

$4 x (x^{2} - 25) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$4 x ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 2.6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 5, 5$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 5, 5$ .

$0, - 5, 5$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = 4 {(- 6)}^{3} - 100 \cdot - 6$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 6) = 4 \cdot - 216 - 100 \cdot - 6$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 216$ .

$f' (- 6) = - 864 - 100 \cdot - 6$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 100$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = - 864 + 600$

Paso 5.2.2

Suma $- 864$ y $600$ .

$f' (- 6) = - 264$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 264$ .

$- 264$

Paso 5.3

En $x = - 6$ la derivada es $- 264$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 5)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 5, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{5}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 {(- \frac{5}{2})}^{3} - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5}{2})}^{3}) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3}}{2^{3}})) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (- \frac{5^{3}}{2^{3}}) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (- \frac{125}{2^{3}}) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (- \frac{125}{8}) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{125}{8}$ al numerador.

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (\frac{- 125}{8}) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.5.2

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (\frac{- 125}{4 (2)}) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{5}{2}) = 4 (\frac{- 125}{4 \cdot 2}) - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 125}{2} - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} - 100 (- \frac{5}{2})$

Paso 6.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} - 100 (\frac{- 5}{2})$

Paso 6.2.1.7.2

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 2 (- 50) (\frac{- 5}{2})$

Paso 6.2.1.7.3

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 2 \cdot (- 50 (\frac{- 5}{2}))$

Paso 6.2.1.7.4

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} - 50 \cdot - 5$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $- 50$ por $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 250$

Paso 6.2.2

Para escribir $250$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + 250 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina $250$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{125}{2} + \frac{250 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 125 + 250 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.5.1

Multiplica $250$ por $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 125 + 500}{2}$

Paso 6.2.5.2

Suma $- 125$ y $500$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{375}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $\frac{375}{2}$ .

$\frac{375}{2}$

Paso 6.3

En $x = - \frac{5}{2}$ la derivada es $\frac{375}{2}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 5, 0)$ .

Incremento en $(- 5, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{5}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 100 (\frac{5}{2})$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 100 (\frac{5}{2})$

Paso 7.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{2^{3}}) - 100 (\frac{5}{2})$

Paso 7.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{8}) - 100 (\frac{5}{2})$

Paso 7.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 (2)}) - 100 (\frac{5}{2})$

Paso 7.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 \cdot 2}) - 100 (\frac{5}{2})$

Paso 7.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 100 (\frac{5}{2})$

Paso 7.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 2 (- 50) (\frac{5}{2})$

Paso 7.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 2 \cdot (- 50 (\frac{5}{2}))$

Paso 7.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 50 \cdot 5$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 50$ por $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 250$

Paso 7.2.2

Para escribir $- 250$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 250 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 7.2.3

Combina $- 250$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 250 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 250 \cdot 2}{2}$

Paso 7.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.5.1

Multiplica $- 250$ por $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 500}{2}$

Paso 7.2.5.2

Resta $500$ de $125$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 375}{2}$

Paso 7.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{375}{2}$

Paso 7.2.7

La respuesta final es $- \frac{375}{2}$ .

$- \frac{375}{2}$

Paso 7.3

En $x = \frac{5}{2}$ la derivada es $- \frac{375}{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 5)$ .

Decrecimiento en $(0, 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 100 \cdot 6$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 100 \cdot 6$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $216$ .

$f' (6) = 864 - 100 \cdot 6$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 100$ por $6$ .

$f' (6) = 864 - 600$

Paso 8.2.2

Resta $600$ de $864$ .

$f' (6) = 264$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $264$ .

$264$

Paso 8.3

En $x = 6$ la derivada es $264$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(5, \infty)$ .

Incremento en $(5, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 5, 0), (5, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 5), (0, 5)$

Paso 10