Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 21 x^{2} - 48 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 21 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 21$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x + \frac{d}{d x} (- 48 x)$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48 \cdot 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $- 48$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 42 x - 48$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x^{2} - 42 x - 48 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} - 42 x - 48$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 42 x - 48 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $6$ de $- 42 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 7 x) - 48 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $6$ de $- 48$ .

$6 x^{2} + 6 (- 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 7 x)$ .

$6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $6$ de $6 (x^{2} - 7 x) + 6 \cdot - 8$ .

$6 (x^{2} - 7 x - 8) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} - 7 x - 8$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 7$ .

$- 8, 1$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 ((x - 8) (x + 1)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (x - 8) (x + 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 8$ igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 8$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (x - 8) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 8, - 1$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $8, - 1$ .

$8, - 1$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 8) \cup (8, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 42 \cdot - 2 - 48$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 42 \cdot - 2 - 48$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 42 \cdot - 2 - 48$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 42$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 84 - 48$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Suma $24$ y $84$ .

$f' (- 2) = 108 - 48$

Paso 5.2.2.2

Resta $48$ de $108$ .

$f' (- 2) = 60$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $60$ .

$60$

Paso 5.3

En $x = - 2$ la derivada es $60$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 8)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{7}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = 6 {(\frac{7}{2})}^{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{2^{2}}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 6 (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 (3) (\frac{49}{4}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{49}{2 \cdot 2})) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = 3 (\frac{49}{2}) - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.5

Combina $3$ y $\frac{49}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{3 \cdot 49}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $3$ por $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 42 (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.7.1

Factoriza $2$ de $- 42$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 (- 21) (\frac{7}{2}) - 48$

Paso 6.2.1.7.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + 2 \cdot (- 21 (\frac{7}{2})) - 48$

Paso 6.2.1.7.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 21 \cdot 7 - 48$

Paso 6.2.1.8

Multiplica $- 21$ por $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} - 147 - 48$

Paso 6.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 6.2.2.1

Escribe $- 147$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} - 48$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $\frac{- 147}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147}{1} \cdot \frac{2}{2} - 48$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $\frac{- 147}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} - 48$

Paso 6.2.2.4

Escribe $- 48$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $\frac{- 48}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $\frac{- 48}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147}{2} + \frac{- 147 \cdot 2}{2} + \frac{- 48 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 147 \cdot 2 - 48 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 147$ por $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 48 \cdot 2}{2}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 48$ por $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{147 - 294 - 96}{2}$

Paso 6.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.5.1

Resta $294$ de $147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 147 - 96}{2}$

Paso 6.2.5.2

Resta $96$ de $- 147$ .

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{- 243}{2}$

Paso 6.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{243}{2}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Paso 6.3

En $x = \frac{7}{2}$ la derivada es $- \frac{243}{2}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 1, 8)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 8)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(8, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $9$ en la expresión.

$f' (9) = 6 {(9)}^{2} - 42 \cdot 9 - 48$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (9) = 6 \cdot 81 - 42 \cdot 9 - 48$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $6$ por $81$ .

$f' (9) = 486 - 42 \cdot 9 - 48$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 42$ por $9$ .

$f' (9) = 486 - 378 - 48$

Paso 7.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 7.2.2.1

Resta $378$ de $486$ .

$f' (9) = 108 - 48$

Paso 7.2.2.2

Resta $48$ de $108$ .

$f' (9) = 60$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $60$ .

$60$

Paso 7.3

En $x = 9$ la derivada es $60$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(8, \infty)$ .

Incremento en $(8, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (8, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 1, 8)$

Paso 9