Cálculo Ejemplos

$f (x) = x - x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{3}$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 1 - (3 x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 3 x^{2}$

Paso 1.1.3

Reordena los términos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 x^{2} + 1$ .

$- 3 x^{2} + 1$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 3 x^{2} + 1 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 1 = 0$

Paso 2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} = - 1$

Paso 2.3

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $- 3 x^{2} = - 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Paso 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Paso 2.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Paso 2.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.57735026$ en la expresión.

$f' (- 1.57735026) = - 3 {(- 1.57735026)}^{2} + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.57735026$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2.48803384$ .

$f' (- 1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Paso 5.2.2

Suma $- 7.46410152$ y $1$ .

$f' (- 1.57735026) = - 6.46410152$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Paso 5.3

En $x = - 1.57735026$ la derivada es $- 6.46410152$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Paso 6.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Incremento en $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.57735026$ en la expresión.

$f' (1.57735026) = - 3 {(1.57735026)}^{2} + 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.57735026$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 3$ por $2.48803384$ .

$f' (1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

Paso 7.2.2

Suma $- 7.46410152$ y $1$ .

$f' (1.57735026) = - 6.46410152$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 6.46410152$ .

$- 6.46410152$

Paso 7.3

En $x = 1.57735026$ la derivada es $- 6.46410152$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Paso 9