Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.3

Mueve ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.12.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.12.2

Multiplica $\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.1.14

Multiplica ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.1.15

Para escribir ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.16

Combina ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.18

Multiplica ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.18.1

Mueve ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.18.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.18.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.18.4

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.18.5

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.19

Simplifica ${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.20

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.21

Simplifica.

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Paso 1.1.21.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.21.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.21.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.21.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x + 4 = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 4$

Paso 2.3.2

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Divide cada término en $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Paso 4.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

Paso 4.2

Establece el denominador en $\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Paso 4.3.2.2.1.6

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Paso 4.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Paso 4.3.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.3.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 8$

Paso 4.3.3.2

Divide cada término en $4 x = - 8$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.3.3.2.1

Divide cada término en $4 x = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 4.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 4.3.3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Paso 4.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.2.3.1

Divide $- 8$ por $4$ .

$x = - 2$

Paso 4.4

Establece el radicando en $\sqrt{x + 2}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 2 < 0$

Paso 4.5

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x < - 2$

Paso 4.6

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.1.2

Suma $- 9$ y $4$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 3$ y $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6.2.2.2

Reescribe ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Paso 6.2.2.3

Evalúa el exponente.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

Paso 6.2.2.4

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

Paso 6.2.3

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{- 5}{2 i}$ por el conjugado de $2 i$ para hacer real el denominador.

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Paso 6.2.4

Multiplica.

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Paso 6.2.4.1

Combinar.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.4.2.1

Agrega paréntesis.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Paso 6.2.4.2.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Paso 6.2.4.2.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

Paso 6.2.4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

Paso 6.2.4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

Paso 6.2.4.2.6

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

Paso 6.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

Paso 6.2.6

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

Paso 6.2.7

La respuesta final es $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{5 i}{2}$

Paso 6.3

En $x = - 3$ la derivada es $\frac{5 i}{2}$ . Como esta contiene un número imaginario, la función no existe en $(- \infty, - 2)$ .

La función no es real en $(- \infty, - 2)$ ya que $f' (x)$ es imaginario

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, - \frac{4}{3})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.6666667$ en la expresión.

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.1.2

Suma $- 5.0000001$ y $4$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 1.6666667$ y $2$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.2

Reescribe $0.3333333$ como ${0.57735024}^{2}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 7.2.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 7.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Paso 7.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $2$ por $0.57735024$ .

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

Paso 7.2.3.2

Divide $- 1.0000001$ por $1.15470048$ .

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 0.86602553$ .

$- 0.86602553$

Paso 7.3

En $x = - 1.6666667$ la derivada es $- 0.86602553$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 2, - \frac{4}{3})$ .

Decrecimiento en $(- 2, - \frac{4}{3})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{4}{3}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.3333334$ en la expresión.

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 0.3333334$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.1.2

Suma $- 1.0000002$ y $4$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Suma $- 0.3333334$ y $2$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.2

Reescribe $1.6666666$ como ${1.29099442}^{2}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 8.2.2.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 8.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 8.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Paso 8.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

Paso 8.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $2$ por $1.29099442$ .

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

Paso 8.2.3.2

Divide $2.9999998$ por $2.58198884$ .

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $1.16189494$ .

$1.16189494$

Paso 8.3

En $x = - 0.3333334$ la derivada es $1.16189494$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \frac{4}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(- \frac{4}{3}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{4}{3}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 2, - \frac{4}{3})$

Paso 10