Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$6 x - 8 (3 x^{2})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$6 x - 24 x^{2}$

Paso 1.1.4

Reordena los términos.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 24 x^{2} + 6 x$ .

$- 24 x^{2} + 6 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $- 6 x$ de $- 24 x^{2} + 6 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $- 6 x$ de $- 24 x^{2}$ .

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $- 6 x$ de $6 x$ .

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $- 6 x$ de $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ .

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $- 6 x (4 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, \frac{1}{4}$ .

$0, \frac{1}{4}$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 24 - 6$

Paso 5.2.2

Resta $6$ de $- 24$ .

$f' (- 1) = - 30$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 30$ .

$- 30$

Paso 5.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 30$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{1}{4})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.125$ en la expresión.

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $0.125$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 24$ por $0.015625$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $6$ por $0.125$ .

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

Paso 6.2.2

Suma $- 0.375$ y $0.75$ .

$f' (0.125) = 0.375$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0.375$ .

$0.375$

Paso 6.3

En $x = 0.125$ la derivada es $0.375$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \frac{1}{4})$ .

Incremento en $(0, \frac{1}{4})$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{1}{4}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.25$ en la expresión.

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.25$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 24$ por $1.5625$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $6$ por $1.25$ .

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

Paso 7.2.2

Suma $- 37.5$ y $7.5$ .

$f' (1.25) = - 30$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 30$ .

$- 30$

Paso 7.3

En $x = 1.25$ la derivada es $- 30$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{1}{4}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{1}{4}, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(0, \frac{1}{4})$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

Paso 9