Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 16})$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.3.5

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.6

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

Paso 1.1.7

Combina $2$ y $\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.8.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.8.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.1.8.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 16$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 32 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.4

Multiplica $- 32$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}$ .

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Paso 1.1.8.4.2.1

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.4.2.2

Suma $- 64 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{- 64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Paso 1.1.8.6

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.8.6.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Paso 1.1.8.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Paso 1.1.8.6.3

Aplica la regla del producto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$64 x = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $64 x = 0$ por $64$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $64 x = 0$ por $64$ .

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{64}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $64$ .

$x = 0$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Establece ${(x + 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece ${(x + 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2.2

Resuelve ${(x + 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 4.2.3

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece ${(x - 4)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3.2

Resuelve ${(x - 4)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.3.2.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 4, 4$

Paso 4.3

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = - \frac{64 (- 5)}{{((- 5) + 4)}^{2} {((- 5) - 4)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $64$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 5 + 4)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 5$ y $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $4$ de $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 {(- 9)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 9$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 \cdot 81}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $81$ por $1$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{81}$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 5) = \frac{320}{81}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{320}{81}$ .

$\frac{320}{81}$

Paso 6.3

En $x = - 5$ la derivada es $\frac{320}{81}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 4)$ .

Incremento en $(- \infty, - 4)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{64 (- 2)}{{((- 2) + 4)}^{2} {((- 2) - 4)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $64$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{{(- 2 + 4)}^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $- 2$ y $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $4$ de $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 6)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 {(- 6)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 \cdot 36}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $4$ por $36$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{144}$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $- 128$ y $144$ .

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Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $16$ de $- 128$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 (- 8)}{144}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

Paso 7.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

Paso 7.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Paso 7.3

En $x = - 2$ la derivada es $\frac{8}{9}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 4, 0)$ .

Incremento en $(- 4, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - \frac{64 (2)}{{((2) + 4)}^{2} {((2) - 4)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Multiplica $64$ por $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Suma $2$ y $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Resta $4$ de $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 {(- 2)}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = - \frac{128}{36 \cdot 4}$

Paso 8.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 8.2.3.1

Multiplica $36$ por $4$ .

$f' (2) = - \frac{128}{144}$

Paso 8.2.3.2

Cancela el factor común de $128$ y $144$ .

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Paso 8.2.3.2.1

Factoriza $16$ de $128$ .

$f' (2) = - \frac{16 (8)}{144}$

Paso 8.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $144$ .

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Paso 8.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

Paso 8.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Paso 8.3

En $x = 2$ la derivada es $- \frac{8}{9}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 4)$ .

Decrecimiento en $(0, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = - \frac{64 (5)}{{((5) + 4)}^{2} {((5) - 4)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Multiplica $64$ por $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{{(5 + 4)}^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Suma $5$ y $4$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Resta $4$ de $5$ .

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} \cdot 1^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1}$

Paso 9.2.3

Multiplica $81$ por $1$ .

$f' (5) = - \frac{320}{81}$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $- \frac{320}{81}$ .

$- \frac{320}{81}$

Paso 9.3

En $x = 5$ la derivada es $- \frac{320}{81}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(4, \infty)$ .

Decrecimiento en $(4, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Decrecimiento en: $(0, 4), (4, \infty)$

Paso 11