Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Paso 1.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $9$ por $1$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.5.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

Paso 1.1.5.2

Suma $x^{2} - 6 x + 9$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{2} - 6 x + 9$ .

$x^{2} - 6 x + 9$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Paso 2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Paso 2.2.3

Reescribe el polinomio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $3$ .

$3$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 3)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $12$ de $4$ .

$f' (2) = - 8 + 9$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 8$ y $9$ .

$f' (2) = 1$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 5.3

En $x = 2$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 3)$ .

Incremento en $(- \infty, 3)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(3, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

Paso 6.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 6.2.2.1

Resta $24$ de $16$ .

$f' (4) = - 8 + 9$

Paso 6.2.2.2

Suma $- 8$ y $9$ .

$f' (4) = 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

En $x = 4$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(3, \infty)$ .

Incremento en $(3, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Paso 8