Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{5}{x + 5}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x + 5$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 5$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 5$ .

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Paso 1.1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Paso 1.1.3.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.1.3.5.2

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.2.1

Combina $- 5$ y $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$5 = 0$

Paso 2.3

Como $5 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ .

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 6$ y $5$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.2.1

Divide $5$ por $1$ .

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (- 6) = - 5$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 6.3

En $x = - 6$ la derivada es $- 5$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 5)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 5)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 5, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $- 4$ y $5$ .

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

Paso 7.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.2.1

Divide $5$ por $1$ .

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f' (- 4) = - 5$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 7.3

En $x = - 4$ la derivada es $- 5$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 5, \infty)$ .

Decrecimiento en $(- 5, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$

Paso 9