Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $1 - x$ por $1$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.7.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.2

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.9.3.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.1.2.9.3.2

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

Paso 4.2.1.2

Aplica la regla del producto a $- (x - 1)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.2

Divide cada término en ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Divide cada término en ${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ por ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de ${(- 1)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

Paso 4.2.2.3.2

Divide $0$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Paso 6.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Paso 6.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 1)$ .

Incremento en $(- \infty, 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$f' (2) = 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Paso 9