Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.4

Suma $0$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{1}{{((- 2) + 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- 2$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{1}{1}$

Paso 6.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$f' (- 2) = 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$f' (0) = 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 7.3

En $x = 0$ la derivada es $1$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, \infty)$ .

Incremento en $(- 1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 1), (- 1, \infty)$

Paso 9