Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.4.1

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

No hay valores de $x$ en el dominio del problema original donde la derivada es $0$ o indefinida.

No se obtuvieron puntos críticos

Paso 4

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 4.1

Establece el denominador en $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f' (0) = - \frac{1}{{((0) - 1)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1.1

Resta $1$ de $0$ .

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 6.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Paso 6.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Paso 6.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

Paso 6.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (0) = - 1$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 6.3

En $x = 0$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = - \frac{1}{{((2) - 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.1.1

Resta $1$ de $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{1^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 7.2.2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 7.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

Paso 7.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Paso 7.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (2) = - 1$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 1$ .

$- 1$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $- 1$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(1, \infty)$ .

Decrecimiento en $(1, \infty)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Decrecimiento en: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

Paso 9