Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 4 + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$f' (x) = 2 x + 4$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x + 4$ .

$2 x + 4$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $2 x + 4 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$2 x + 4 = 0$

Paso 2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 4$

Paso 2.3

Divide cada término en $2 x = - 4$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $2 x = - 4$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 4}{2}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{2}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide $- 4$ por $2$ .

$x = - 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- 2$ .

$- 2$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 2 x + 4$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = x^{2} + 4 x + 4$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$ .

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = 2 (- 3) + 4$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - 6 + 4$

Paso 5.2.2

Suma $- 6$ y $4$ .

$f' (- 3) = - 2$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 2$ .

$- 2$

Paso 5.3

En $x = - 3$ la derivada es $- 2$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + 4$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 + 4$

Paso 6.2.2

Suma $- 2$ y $4$ .

$f' (- 1) = 2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $2$ .

$2$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $2$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2, \infty)$ .

Incremento en $(- 2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 2)$

Paso 8