Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $3 x^{2} - 12 x + 12$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 12 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $3$ de $12$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 2.2.2.3

Reescribe el polinomio.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 2.2.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.3

Divide cada término en $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ por $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Divide $0$ por $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.5

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa en $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Paso 4.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

Paso 4.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 6$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$8 - 24 + 12 (2) - 6$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $12$ por $2$ .

$8 - 24 + 24 - 6$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.2.2.1

Resta $24$ de $8$ .

$- 16 + 24 - 6$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $- 16$ y $24$ .

$8 - 6$

Paso 4.1.2.2.3

Resta $6$ de $8$ .

$2$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(2, 2)$

Paso 5