Cálculo Ejemplos

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x - 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $x - 1$ por $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8

Combina fracciones.

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Paso 1.1.3.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.8.3

Combina $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ y $7$ .

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Paso 1.1.3.8.4

Mueve $7$ a la izquierda de $x - 1 - (x + 1)$ .

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4

Combina los términos.

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Paso 1.1.4.4.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.4

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.5

Resta $7 x$ de $7 x$ .

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.6

Resta $7$ de $0$ .

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.7

Resta $7$ de $- 7$ .

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

Paso 1.1.4.4.9

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ por $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.1.4.4.10

Multiplica ${(x - 1)}^{6}$ por ${(x - 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.4.4.10.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

Paso 1.1.4.4.10.2

Suma $6$ y $2$ .

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

Paso 1.1.4.4.11

Mueve $14$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{6}$ .

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ por $14$ y simplifica.

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Paso 2.3.1.1

Divide cada término en $14 {(x + 1)}^{6} = 0$ por $14$ .

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Paso 2.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 2.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

Paso 2.3.1.2.1.2

Divide ${(x + 1)}^{6}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1.3.1

Divide $0$ por $14$ .

${(x + 1)}^{6} = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 1)}^{8} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4

Evalúa ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

Paso 4.1.2.2

Resta $1$ de $- 1$ .

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

Paso 4.1.2.3

Divide $0$ por $- 2$ .

$0^{7}$

Paso 4.1.2.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $1$ por $x$ .

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

Paso 4.2.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(- 1, 0)$

Paso 5