Cálculo Ejemplos

Hallar los puntos de inflexión f(x)=x raíz cuadrada de 4-x^2
Paso 1
Obtener la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.1
Usa para reescribir como .
Paso 1.1.2
Diferencia con la regla del producto, que establece que es donde y .
Paso 1.1.3
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.3.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.3.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.1.4
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.1.5
Combina y .
Paso 1.1.6
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.7
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.7.1
Multiplica por .
Paso 1.1.7.2
Resta de .
Paso 1.1.8
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.8.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.8.2
Combina y .
Paso 1.1.8.3
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.1.8.4
Combina y .
Paso 1.1.9
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.10
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.11
Suma y .
Paso 1.1.12
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.13
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.14
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.14.1
Multiplica por .
Paso 1.1.14.2
Combina y .
Paso 1.1.14.3
Combina y .
Paso 1.1.15
Eleva a la potencia de .
Paso 1.1.16
Eleva a la potencia de .
Paso 1.1.17
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.1.18
Suma y .
Paso 1.1.19
Factoriza de .
Paso 1.1.20
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.20.1
Factoriza de .
Paso 1.1.20.2
Cancela el factor común.
Paso 1.1.20.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.1.21
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.1.22
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.23
Multiplica por .
Paso 1.1.24
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.1.25
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.26
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.26.1
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.1.26.2
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.1.26.3
Suma y .
Paso 1.1.26.4
Divide por .
Paso 1.1.27
Simplifica .
Paso 1.1.28
Resta de .
Paso 1.1.29
Reordena los términos.
Paso 1.2
Obtener la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Diferencia con la regla del cociente, que establece que es donde y .
Paso 1.2.2
Multiplica los exponentes en .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.2.1
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 1.2.2.2
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.2.2.1
Cancela el factor común.
Paso 1.2.2.2.2
Reescribe la expresión.
Paso 1.2.3
Simplifica.
Paso 1.2.4
Diferencia.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.4.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.4.2
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.4.3
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.4.4
Multiplica por .
Paso 1.2.4.5
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.4.6
Suma y .
Paso 1.2.5
Diferencia con la regla de la cadena, que establece que es donde y .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.5.1
Para aplicar la regla de la cadena, establece como .
Paso 1.2.5.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.5.3
Reemplaza todos los casos de con .
Paso 1.2.6
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.2.7
Combina y .
Paso 1.2.8
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.2.9
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.9.1
Multiplica por .
Paso 1.2.9.2
Resta de .
Paso 1.2.10
Combina fracciones.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.10.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.2.10.2
Combina y .
Paso 1.2.10.3
Mueve al denominador mediante la regla del exponente negativo .
Paso 1.2.11
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.12
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.13
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.14
Multiplica por .
Paso 1.2.15
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.16
Simplifica los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.16.1
Suma y .
Paso 1.2.16.2
Combina y .
Paso 1.2.16.3
Combina y .
Paso 1.2.16.4
Factoriza de .
Paso 1.2.17
Cancela los factores comunes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.17.1
Factoriza de .
Paso 1.2.17.2
Cancela el factor común.
Paso 1.2.17.3
Reescribe la expresión.
Paso 1.2.18
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 1.2.19
Multiplica por .
Paso 1.2.20
Multiplica por .
Paso 1.2.21
Simplifica.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1.1
Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Paso 1.2.21.1.2
Multiplica por .
Paso 1.2.21.1.3
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1.3.1
Factoriza de .
Paso 1.2.21.1.3.2
Factoriza de .
Paso 1.2.21.1.3.3
Factoriza de .
Paso 1.2.21.1.4
Para escribir como una fracción con un denominador común, multiplica por .
Paso 1.2.21.1.5
Combina y .
Paso 1.2.21.1.6
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.2.21.1.7
Reescribe en forma factorizada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1.7.1
Factoriza de .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1.7.1.1
Factoriza de .
Paso 1.2.21.1.7.1.2
Factoriza de .
Paso 1.2.21.1.7.1.3
Factoriza de .
Paso 1.2.21.1.7.2
Combina exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1.7.2.1
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1.7.2.1.1
Mueve .
Paso 1.2.21.1.7.2.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.2.21.1.7.2.1.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.2.21.1.7.2.1.4
Suma y .
Paso 1.2.21.1.7.2.1.5
Divide por .
Paso 1.2.21.1.7.2.2
Simplifica .
Paso 1.2.21.1.8
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.1.8.1
Aplica la propiedad distributiva.
Paso 1.2.21.1.8.2
Multiplica por .
Paso 1.2.21.1.8.3
Multiplica por .
Paso 1.2.21.1.8.4
Resta de .
Paso 1.2.21.1.8.5
Suma y .
Paso 1.2.21.2
Combina los términos.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.2.1
Reescribe como un producto.
Paso 1.2.21.2.2
Multiplica por .
Paso 1.2.21.2.3
Multiplica por sumando los exponentes.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.2.3.1
Multiplica por .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.21.2.3.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 1.2.21.2.3.1.2
Usa la regla de la potencia para combinar exponentes.
Paso 1.2.21.2.3.2
Escribe como una fracción con un denominador común.
Paso 1.2.21.2.3.3
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 1.2.21.2.3.4
Suma y .
Paso 1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 2.2
Establece el numerador igual a cero.
Paso 2.3
Resuelve la ecuación en .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.1
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 2.3.2
Establece igual a .
Paso 2.3.3
Establece igual a y resuelve .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.3.1
Establece igual a .
Paso 2.3.3.2
Resuelve en .
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.3.2.1
Suma a ambos lados de la ecuación.
Paso 2.3.3.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Paso 2.3.3.2.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Toca para ver más pasos...
Paso 2.3.3.2.3.1
Primero, usa el valor positivo de para obtener la primera solución.
Paso 2.3.3.2.3.2
Luego, usa el valor negativo de para obtener la segunda solución.
Paso 2.3.3.2.3.3
La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.
Paso 2.3.4
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 2.4
Excluye las soluciones que no hagan que sea verdadera.
Paso 3
Obtén los puntos donde la segunda derivada es .
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Paso 3.1
Sustituye en para obtener el valor de .
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Paso 3.1.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.1.2
Simplifica el resultado.
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Paso 3.1.2.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 3.1.2.2
Multiplica por .
Paso 3.1.2.3
Suma y .
Paso 3.1.2.4
Reescribe como .
Paso 3.1.2.5
Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.
Paso 3.1.2.6
Multiplica por .
Paso 3.1.2.7
La respuesta final es .
Paso 3.2
El punto que se obtiene mediante la sustitución de en es . Este puede ser un punto de inflexión.
Paso 4
Divide en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.
Paso 5
Sustituye un valor del intervalo en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 5.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.1.1
Multiplica por .
Paso 5.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.2.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.2.2.2
Suma y .
Paso 5.2.2.3
Reescribe como .
Paso 5.2.2.4
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 5.2.2.5
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 5.2.2.5.1
Cancela el factor común.
Paso 5.2.2.5.2
Reescribe la expresión.
Paso 5.2.2.6
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.3
Divide por .
Paso 5.2.4
La respuesta final es .
Paso 5.3
En , la segunda derivada es . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo .
Incremento en ya que
Incremento en ya que
Paso 6
Sustituye un valor del intervalo en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 6.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1
Simplifica el numerador.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.1.1
Multiplica por .
Paso 6.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.2
Simplifica el denominador.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.2.2
Suma y .
Paso 6.2.2.3
Reescribe como .
Paso 6.2.2.4
Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, .
Paso 6.2.2.5
Cancela el factor común de .
Toca para ver más pasos...
Paso 6.2.2.5.1
Cancela el factor común.
Paso 6.2.2.5.2
Reescribe la expresión.
Paso 6.2.2.6
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.3
Divide por .
Paso 6.2.4
La respuesta final es .
Paso 6.3
En , la segunda derivada es . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo .
Decrecimiento en desde
Decrecimiento en desde
Paso 7
Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es .
Paso 8