Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{4}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $12 x^{3} - 12 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $12 x^{3} - 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x^{3}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $36 x^{2} - 24 x$ .

$36 x^{2} - 24 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $36 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$36 x^{2} - 24 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $36 x^{2} - 24 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $36 x^{2}$ .

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $- 24 x$ .

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (3 x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (3 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 1$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ es $(0, 1)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 1)$

Paso 3.3

Sustituye $\frac{2}{3}$ en $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Paso 3.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Paso 3.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

Paso 3.3.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 1$

Paso 3.3.2.1.6

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}} + 1$

Paso 3.3.2.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27}) + 1$

Paso 3.3.2.1.8

Multiplica $- 4 (\frac{8}{27})$ .

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Paso 3.3.2.1.8.1

Combina $- 4$ y $\frac{8}{27}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27} + 1$

Paso 3.3.2.1.8.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27} + 1$

Paso 3.3.2.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27} + 1$

Paso 3.3.2.2

Combina fracciones.

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Paso 3.3.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{16 - 32}{27}$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.2.2.2.1

Resta $32$ de $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{- 16}{27}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{2}{3}) = 1 - \frac{16}{27}$

Paso 3.3.2.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27}{27} - \frac{16}{27}$

Paso 3.3.2.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27 - 16}{27}$

Paso 3.3.2.2.2.5

Resta $16$ de $27$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{11}{27}$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $\frac{11}{27}$ .

$\frac{11}{27}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{2}{3}$ en $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ es $(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $36$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

Paso 5.2.2

Suma $0.36$ y $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.76$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $2.76$ .

$2.76$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $2.76$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{2}{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $36$ por $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

Paso 6.2.2

Resta $8$ de $4$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 4$ .

$- 4$

Paso 6.3

En $0.\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 4$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \frac{2}{3})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{2}{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{2}{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.7\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.7\overline{6}$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $36$ por $0.58\overline{7}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

Paso 7.2.2

Resta $18.4$ de $21.16$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2.76$ .

$2.76$

Paso 7.3

En $0.7\overline{6}$ , la segunda derivada es $2.76$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{2}{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ .

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

Paso 9