Cálculo Ejemplos

$y = x^{4} - 3 x^{2}$

Paso 1

Escribe $y = x^{4} - 3 x^{2}$ como una función.

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2})$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 3 (2 x)$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 6 x$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6 \cdot 1$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 6$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 6$ .

$12 x^{2} - 6$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 6 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 6 = 0$

Paso 3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} = 6$

Paso 3.3

Divide cada término en $12 x^{2} = 6$ por $12$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 6$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{6}{12}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{6}{12}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{6}{12}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $12$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$x^{2} = \frac{6 (1)}{12}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.5.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.5.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.1.2.1.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{2}}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{2^{4}} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 4.1.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 (1)}{16} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.1.2.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.2.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.6.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Paso 4.1.2.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{2}{4})$

Paso 4.1.2.1.8

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.1.2.1.8.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 (1)}{4}$

Paso 4.1.2.1.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.2.1.8.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.1.8.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.1.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Paso 4.1.2.1.9

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{2}$

Paso 4.1.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 4.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 3 \cdot 2}{4}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 6}{4}$

Paso 4.1.2.5.2

Resta $6$ de $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{4}$

Paso 4.1.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5}{4}$

Paso 4.1.2.7

La respuesta final es $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ es $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Paso 4.3

Sustituye $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 (\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica $\frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.2.1.4.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2^{2}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{2^{4}} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 4.3.2.1.6.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 (1)}{16} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.6.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Paso 4.3.2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Paso 4.3.2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Paso 4.3.2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Paso 4.3.2.1.9

Multiplica $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 4.3.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.10.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Paso 4.3.2.1.10.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2}{2^{2}}$

Paso 4.3.2.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{2}{4})$

Paso 4.3.2.1.12

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 4.3.2.1.12.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 (1)}{4}$

Paso 4.3.2.1.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.12.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2.1.12.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2.1.12.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - 3 (\frac{1}{2})$

Paso 4.3.2.1.13

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{- 3}{2}$

Paso 4.3.2.1.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2}$

Paso 4.3.2.2

Para escribir $- \frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 4.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.3.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Paso 4.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3 \cdot 2}{4}$

Paso 4.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 3 \cdot 2}{4}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.5.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1 - 6}{4}$

Paso 4.3.2.5.2

Resta $6$ de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{4}$

Paso 4.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{5}{4}$

Paso 4.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ es $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Paso 4.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.80710678$ en la expresión.

$f'' (- 0.80710678) = 12 {(- 0.80710678)}^{2} - 6$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 12 \cdot 0.65142135 - 6$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 7.81705627 - 6$

Paso 6.2.2

Resta $6$ de $7.81705627$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.81705627$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $1.81705627$ .

$1.81705627$

Paso 6.3

En $- 0.80710678$ , la segunda derivada es $1.81705627$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Incremento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 6$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 6$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Paso 7.2.2

Resta $6$ de $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 7.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 6$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Decrecimiento en $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.80710678$ en la expresión.

$f'' (0.80710678) = 12 {(0.80710678)}^{2} - 6$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Eleva $0.80710678$ a la potencia de $2$ .

$f'' (0.80710678) = 12 \cdot 0.65142135 - 6$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 7.81705627 - 6$

Paso 8.2.2

Resta $6$ de $7.81705627$ .

$f'' (0.80710678) = 1.81705627$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $1.81705627$ .

$1.81705627$

Paso 8.3

En $0.80710678$ , la segunda derivada es $1.81705627$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{5}{4})$

Paso 10