Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ como una función.

$f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{3 x}{x^{2} - 1}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} - 1})$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.3.2

Multiplica $x^{2} - 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.7

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Paso 2.1.9

Combina $3$ y $\frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.10

Simplifica.

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Paso 2.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} + 3 \cdot - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.1.10.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 3 x^{2} - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{2} - 3) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2.3

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2.6

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x + 0) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.2.7

Suma $- 6 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - (- 3 x^{2} - 3) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 2 (- 3 x^{2} - 3) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) - 4 (- 3 x^{2} - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 6 x) + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 6 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} - 1)}^{2}$ como $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3

Expande $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.3

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.2

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} - 6 (- 2 x^{2}) - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.6.1

Multiplica $- 2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6 \cdot 1) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 6 x^{4} + 12 x^{2} - 6) x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} x + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (x \cdot x^{4}) + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{1 + 4} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{2} x - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 (x \cdot x^{2}) - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{1 + 2} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (- 4 (- 3 x^{2}) - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} - 4 \cdot - 3) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.10.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.10.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + (12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11

Expande $(12 x^{2} + 12) (x^{3} - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} (x^{3} - x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 (x^{3} x^{2}) + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{3 + 2} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 x^{2} (- x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{2} x) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 12 \cdot (- 1 x^{3}) + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.4

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} + 12 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.5

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x^{3} + 12 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.2

Suma $- 12 x^{3}$ y $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} + 0 - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.3

Suma $12 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x + 12 x^{5} - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.2

Suma $- 6 x^{5}$ y $12 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 6 x - 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.3

Resta $12 x$ de $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.4.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{5} + 12 x^{3} - 18 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.4.1.1

Factoriza $6 x$ de $6 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 12 x^{3} - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.2

Factoriza $6 x$ de $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) - 18 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.3

Factoriza $6 x$ de $- 18 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.4

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{4}) + 6 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.5

Factoriza $6 x$ de $6 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 6 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.4

Factoriza $u^{2} + 2 u - 3$ con el método AC.

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Paso 2.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 2.2.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = \frac{6 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.5.5.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Paso 2.2.5.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Paso 2.2.5.5.3

Aplica la regla del producto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.6

Cancela el factor común de $x + 1$ y ${(x + 1)}^{4}$ .

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Paso 2.2.5.6.1

Factoriza $x + 1$ de $6 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.6.2.1

Factoriza $x + 1$ de ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Paso 2.2.5.6.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((6 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Paso 2.2.5.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.7

Cancela el factor común de $x - 1$ y ${(x - 1)}^{4}$ .

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Paso 2.2.5.7.1

Factoriza $x - 1$ de $(6 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Paso 2.2.5.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.7.2.1

Factoriza $x - 1$ de ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Paso 2.2.5.7.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((6 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Paso 2.2.5.7.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{(6 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{6 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$6 x (x^{2} + 3) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 3$

Paso 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 3.3.3.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 3.3.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 x (x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{3 (0)}{{(0)}^{2} - 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 1}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 - 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.1.2.3

Divide $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.4

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} - 1}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = \frac{6 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{((- 0.1) + 1)}^{3} {((- 0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $6$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.6 ({(- 0.1)}^{2} + 3)}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 0.6$ por ${(- 0.1)}^{2} + 3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{(- 0.1 + 1)}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Suma $- 0.1$ y $1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 0.1 - 1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Resta $1$ de $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{{0.9}^{3} {(- 1.1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $0.9$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 {(- 1.1)}^{3}}$

Paso 6.2.2.4

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{0.729 \cdot - 1.331}$

Paso 6.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.3.1

Multiplica $0.729$ por $- 1.331$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 1.806}{- 0.970299}$

Paso 6.2.3.2

Divide $- 1.806$ por $- 0.970299$ .

$f'' (- 0.1) = 1.86128193$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $1.86128193$ .

$1.86128193$

Paso 6.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $1.86128193$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.1$ en la expresión.

$f'' (0.1) = \frac{6 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 3)}{{((0.1) + 1)}^{3} {((0.1) - 1)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $6$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.6 ({0.1}^{2} + 3)}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $0.6$ por ${0.1}^{2} + 3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{(0.1 + 1)}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Suma $0.1$ y $1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(0.1 - 1)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $1$ de $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{{1.1}^{3} {(- 0.9)}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $1.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 {(- 0.9)}^{3}}$

Paso 7.2.2.4

Eleva $- 0.9$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{1.331 \cdot - 0.729}$

Paso 7.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $1.331$ por $- 0.729$ .

$f'' (0.1) = \frac{1.806}{- 0.970299}$

Paso 7.2.3.2

Divide $1.806$ por $- 0.970299$ .

$f'' (0.1) = - 1.86128193$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- 1.86128193$ .

$- 1.86128193$

Paso 7.3

En $0.1$ , la segunda derivada es $- 1.86128193$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \infty)$ .

Decrecimiento en $(0, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Paso 9