Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Paso 1

Escribe $y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ como una función.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.2.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 2.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 2.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 2.1.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 2.1.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Paso 2.1.9

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.1.10

Simplifica.

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Paso 2.1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.10.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.2

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.3

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.10.2.3.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.1.10.2.3.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.3.4

Resta $2$ de $3$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.4

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.6

Para escribir $x^{\frac{1}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.7

Combina $x^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.9

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.1.10.2.10

Suma $3 x^{\frac{1}{3}}$ y $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $\frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.6.2

Resta $3$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.8

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.9

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.10

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.2.11

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Paso 2.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Paso 2.2.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.2.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Paso 2.2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 2.2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Paso 2.2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Paso 2.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 2.2.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.3.5.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 2.2.3.5.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.3.5.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.3.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Paso 2.2.3.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Paso 2.2.3.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.2.3.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Paso 2.2.3.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Paso 2.2.3.9.2

Resta $3$ de $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Paso 2.2.3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Paso 2.2.3.11

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.3.12

Combina $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Paso 2.2.3.13

Multiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.13.1

Mueve $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Paso 2.2.3.13.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.3.13.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Paso 2.2.3.13.4

Resta $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Paso 2.2.3.13.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Paso 2.2.3.14

Mueve $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Paso 2.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.3.16

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.2.3.17

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 2.2.3.18

Multiplica $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Paso 2.2.3.19

Multiplica $3$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Paso 3.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Paso 3.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 3.2.4

$9$ tiene factores de $3$ y $3$ .

$3 \cdot 3$

Paso 3.2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 3.2.6

El MCM de $9, 9, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3 \cdot 3$

Paso 3.2.7

Multiplica $3$ por $3$ .

$9$

Paso 3.2.8

El MCM de $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x^{\frac{5}{3}}$

Paso 3.2.9

El MCM para $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ es la parte numérica $9$ multiplicada por la parte variable.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ por $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.3.1

Factoriza $x^{\frac{2}{3}}$ de $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.4

Divide $3$ por $3$ .

$4 x^{1} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.5

Simplifica.

$4 x + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.7

Cancela el factor común de $9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.8

Cancela el factor común de $x^{\frac{5}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1.8.1

Cancela el factor común.

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.2.1.8.2

Reescribe la expresión.

$4 x + 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Multiplica $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$4 x + 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $0$ por $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x + 8 = 0$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 8$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $4 x = - 8$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $4 x = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Divide $- 8$ por $4$ .

$x = - 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2$ en $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} ((- 2) - 4)$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Resta $4$ de $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 6$

Paso 4.1.2.2

Mueve $- 6$ a la izquierda de ${(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 2) = - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ es $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Para escribir $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.2.2

Multiplica ${(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.2.1

Mueve ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.2.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 (- 2.1) + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.4.1

Evalúa el exponente.

$f'' (- 2.1) = \frac{4 \cdot - 2.1 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $4$ por $- 2.1$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 8.4 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.4.3

Suma $- 8.4$ y $8$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (- 2.1) = - \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 6.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $0.01290581$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.9$ en la expresión.

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Para escribir $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Multiplica $\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.2.2

Multiplica ${(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.2.1

Mueve ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.2.2.4

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 (- 1.9) + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.4.1

Evalúa el exponente.

$f'' (- 1.9) = \frac{4 \cdot - 1.9 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.4.2

Multiplica $4$ por $- 1.9$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 7.6 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.4.3

Suma $- 7.6$ y $8$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Paso 7.3

En $- 1.9$ , la segunda derivada es $- 0.01524853$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, \infty)$ .

Decrecimiento en $(- 2, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

Paso 9