Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

Paso 1

Escribe $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2.3

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2.4

Combina $\frac{3}{3}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.2.5.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Paso 2.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.4.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 2.1.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + 0$

Paso 2.1.5.2

Suma $x^{2} - 4 x + 3$ y $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 2.2.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Paso 2.2.3.2

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $2 x - 4$ .

$2 x - 4$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $2 x - 4 = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$2 x - 4 = 0$

Paso 3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 4$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 x = 4$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 x = 4$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $4$ por $2$ .

$x = 2$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2$ en $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Paso 4.1.2.1.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 3 (2) + 2$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 3 (2) + 2$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 3 (2) + 2$

Paso 4.1.2.1.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (2) = \frac{8}{3} - 8 + 6 + 2$

Paso 4.1.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.1.2.2.1

Escribe $- 8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 6 + 2$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 6 + 2$

Paso 4.1.2.2.3

Multiplica $\frac{- 8}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 6 + 2$

Paso 4.1.2.2.4

Escribe $6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} + 2$

Paso 4.1.2.2.5

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

Paso 4.1.2.2.6

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + 2$

Paso 4.1.2.2.7

Escribe $2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

Paso 4.1.2.2.8

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.1.2.2.9

Multiplica $\frac{2}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{6 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{8 - 8 \cdot 3 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.4.1

Multiplica $- 8$ por $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4.2

Multiplica $6$ por $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 2 \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$f (2) = \frac{8 - 24 + 18 + 6}{3}$

Paso 4.1.2.5

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.1.2.5.1

Resta $24$ de $8$ .

$f (2) = \frac{- 16 + 18 + 6}{3}$

Paso 4.1.2.5.2

Suma $- 16$ y $18$ .

$f (2) = \frac{2 + 6}{3}$

Paso 4.1.2.5.3

Suma $2$ y $6$ .

$f (2) = \frac{8}{3}$

Paso 4.1.2.6

La respuesta final es $\frac{8}{3}$ .

$\frac{8}{3}$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ es $(2, \frac{8}{3})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, \frac{8}{3})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.9$ en la expresión.

$f'' (1.9) = 2 (1.9) - 4$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $2$ por $1.9$ .

$f'' (1.9) = 3.8 - 4$

Paso 6.2.2

Resta $4$ de $3.8$ .

$f'' (1.9) = - 0.2$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 0.2$ .

$- 0.2$

Paso 6.3

En $1.9$ , la segunda derivada es $- 0.2$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = 2 (2.1) - 4$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $2$ por $2.1$ .

$f'' (2.1) = 4.2 - 4$

Paso 7.2.2

Resta $4$ de $4.2$ .

$f'' (2.1) = 0.2$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $0.2$ .

$0.2$

Paso 7.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $0.2$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. El punto de inflexión en este caso es $(2, \frac{8}{3})$ .

$(2, \frac{8}{3})$

Paso 9