Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Paso 1

Escribe $y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 25$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Multiplica $x^{2} + 25$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.1.7

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.2.6

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.2.7

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.4

Diferencia.

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Paso 2.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 25$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.4.4

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.4.5.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.2

Reescribe ${(x^{2} + 25)}^{2}$ como $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3

Expande $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.2

Mueve $25$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.1.3

Multiplica $25$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.4.2

Suma $25 x^{2}$ y $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.6.1

Multiplica $50$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.6.2

Multiplica $- 2$ por $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.2.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.8.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.9

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.9.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.10.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11

Expande $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Suma $3$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.4

Multiplica $4$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.1.5

Multiplica $25$ por $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.2

Resta $100 x^{3}$ de $100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.1.12.3

Suma $4 x^{5}$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.2

Suma $- 2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.3.3

Resta $2500 x$ de $- 1250 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.5.4.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ .

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Paso 2.2.5.4.1.1

Factoriza $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.2

Factoriza $2 x$ de $- 100 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.3

Factoriza $2 x$ de $- 3750 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.1.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.3

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.4

Factoriza $u^{2} - 50 u - 1875$ con el método AC.

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Paso 2.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 1875$ y cuya suma es $- 50$ .

$- 75, 25$

Paso 2.2.5.4.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.4.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.5

Cancela el factor común de $x^{2} + 25$ y ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

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Paso 2.2.5.5.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Paso 2.2.5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.5.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 2.2.5.5.2.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 2.2.5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 2.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 3

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$2 x (x^{2} - 75) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x^{2} - 75$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x^{2} - 75$ igual a $0$ .

$x^{2} - 75 = 0$

Paso 3.3.3.2

Resuelve $x^{2} - 75 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Suma $75$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 75$

Paso 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

Paso 3.3.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{75}$ .

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Paso 3.3.3.2.3.1

Reescribe $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Paso 3.3.3.2.3.1.1

Factoriza $25$ de $75$ .

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

Paso 3.3.3.2.3.1.2

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Paso 3.3.3.2.3.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.3.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5 \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5 \sqrt{3}$

Paso 3.3.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 x (x^{2} - 75) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

Paso 4

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 4.1

Sustituye $0$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 25}$

Paso 4.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 25}$

Paso 4.1.2.1.2

Suma $0$ y $25$ .

$f (0) = \frac{0}{25}$

Paso 4.1.2.2

Divide $0$ por $25$ .

$f (0) = 0$

Paso 4.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 4.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 4.3

Sustituye $5 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $5 \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Paso 4.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Paso 4.3.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Paso 4.3.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.3.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Paso 4.3.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Paso 4.3.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Paso 4.3.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Paso 4.3.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Paso 4.3.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Paso 4.3.2.1.4

Multiplica $25$ por $3$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Paso 4.3.2.1.5

Suma $75$ y $25$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{100}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común de $5$ y $100$ .

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $5$ de $5 \sqrt{3}$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 (\sqrt{3})}{100}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Factoriza $5$ de $100$ .

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Paso 4.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

Paso 4.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{20}$

Paso 4.3.2.3

La respuesta final es $\frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{20}$

Paso 4.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $5 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ es $(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Paso 4.5

Sustituye $- 5 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 4.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5 \sqrt{3}$ en la expresión.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

Paso 4.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Paso 4.5.2.1.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

Paso 4.5.2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 4.5.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

Paso 4.5.2.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

Paso 4.5.2.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Paso 4.5.2.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.5.2.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

Paso 4.5.2.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Paso 4.5.2.1.3.5

Evalúa el exponente.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica $25$ por $3$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

Paso 4.5.2.1.5

Suma $75$ y $25$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{100}$

Paso 4.5.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 5$ y $100$ .

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Paso 4.5.2.2.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 \sqrt{3}$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{100}$

Paso 4.5.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.2.1.2.1

Factoriza $5$ de $100$ .

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 (20)}$

Paso 4.5.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 \cdot 20}$

Paso 4.5.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{20}$

Paso 4.5.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- 5 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{20}$

Paso 4.5.2.3

La respuesta final es $- \frac{\sqrt{3}}{20}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{20}$

Paso 4.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 5 \sqrt{3}$ en $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ es $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Paso 4.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20}), (- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

Paso 5

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 8.76025403$ en la expresión.

$f'' (- 8.76025403) = \frac{2 (- 8.76025403) ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 8.76025403$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 17.52050807 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 17.52050807$ por ${(- 8.76025403)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $- 8.76025403$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Paso 6.2.2.2

Suma $76.7420508$ y $25$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $101.7420508$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{1053177.23320495}$

Paso 6.2.3

Divide $- 30.52161524$ por $1053177.23320495$ .

$f'' (- 8.76025403) = - 0.00002898$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $- 0.00002898$ .

$- 0.00002898$

Paso 6.3

En $- 8.76025403$ , la segunda derivada es $- 2.89805118 E - 5$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4.33012701$ en la expresión.

$f'' (- 4.33012701) = \frac{2 (- 4.33012701) ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 4.33012701$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{- 8.66025403 ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 8.66025403$ por ${(- 4.33012701)}^{2} - 75$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Eleva $- 4.33012701$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Paso 7.2.2.2

Suma $18.75$ y $25$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $43.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{83740.234375}$

Paso 7.2.3

Divide $487.13928962$ por $83740.234375$ .

$f'' (- 4.33012701) = 0.00581726$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $0.00581726$ .

$0.00581726$

Paso 7.3

En $- 4.33012701$ , la segunda derivada es $0.00581726$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ .

Incremento en $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 5 \sqrt{3})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $4.33012701$ en la expresión.

$f'' (4.33012701) = \frac{2 (4.33012701) ({(4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Multiplica $2$ por $4.33012701$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{8.66025403 ({4.33012701}^{2} - 75)}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $8.66025403$ por ${4.33012701}^{2} - 75$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.2.1

Eleva $4.33012701$ a la potencia de $2$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

Paso 8.2.2.2

Suma $18.75$ y $25$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{43.75}^{3}}$

Paso 8.2.2.3

Eleva $43.75$ a la potencia de $3$ .

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{83740.234375}$

Paso 8.2.3

Divide $- 487.13928962$ por $83740.234375$ .

$f'' (4.33012701) = - 0.00581726$

Paso 8.2.4

La respuesta final es $- 0.00581726$ .

$- 0.00581726$

Paso 8.3

En $4.33012701$ , la segunda derivada es $- 0.00581726$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 5 \sqrt{3})$ .

Decrecimiento en $(0, 5 \sqrt{3})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $8.76025403$ en la expresión.

$f'' (8.76025403) = \frac{2 (8.76025403) ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1.1

Multiplica $2$ por $8.76025403$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{17.52050807 ({8.76025403}^{2} - 75)}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 9.2.1.2

Multiplica $17.52050807$ por ${8.76025403}^{2} - 75$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Eleva $8.76025403$ a la potencia de $2$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

Paso 9.2.2.2

Suma $76.7420508$ y $25$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

Paso 9.2.2.3

Eleva $101.7420508$ a la potencia de $3$ .

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{1053177.23320495}$

Paso 9.2.3

Divide $30.52161524$ por $1053177.23320495$ .

$f'' (8.76025403) = 0.00002898$

Paso 9.2.4

La respuesta final es $0.00002898$ .

$0.00002898$

Paso 9.3

En $8.76025403$ , la segunda derivada es $2.89805118 E - 5$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(5 \sqrt{3}, \infty)$ .

Incremento en $(5 \sqrt{3}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

Paso 11