Cálculo Ejemplos

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{6} - 13 x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [10 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x^{6}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x^{6}$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$f' (x) = 10 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $6$ por $10$ .

$f' (x) = 60 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 13$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 13 x^{5}$ con respecto a $x$ es $- 13 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 \frac{d}{d x} x^{5}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 (5 x^{4})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $- 13$ .

$f' (x) = 60 x^{5} - 65 x^{4}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $60 x^{5} - 65 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [60 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{5}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{5}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$f'' (x) = 60 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $5$ por $60$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 65$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 65 x^{4}$ con respecto a $x$ es $- 65 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 \frac{d}{d x} x^{4}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 (4 x^{3})$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $4$ por $- 65$ .

$f'' (x) = 300 x^{4} - 260 x^{3}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$

Paso 2.2

Factoriza $20 x^{3}$ de $300 x^{4} - 260 x^{3}$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $20 x^{3}$ de $300 x^{4}$ .

$20 x^{3} (15 x) - 260 x^{3} = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $20 x^{3}$ de $- 260 x^{3}$ .

$20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $20 x^{3}$ de $20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13)$ .

$20 x^{3} (15 x - 13) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$15 x - 13 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{3}$ igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $15 x - 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $15 x - 13$ igual a $0$ .

$15 x - 13 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $15 x - 13 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$15 x = 13$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $15 x = 13$ por $15$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $15 x = 13$ por $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 2.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

Paso 2.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{13}{15}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $20 x^{3} (15 x - 13) = 0$ verdadera.

$x = 0, \frac{13}{15}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = 10 {(0)}^{6} - 13 {(0)}^{5}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 10 \cdot 0 - 13 {(0)}^{5}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $10$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{5}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $- 13$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $\frac{13}{15}$ en $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{13}{15}$ en la expresión.

$f (\frac{13}{15}) = 10 {(\frac{13}{15})}^{6} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{13^{6}}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $13$ a la potencia de $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $15$ a la potencia de $6$ .

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 (2) (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Factoriza $5$ de $11390625$ .

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.4.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.4.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{13}{15}) = 2 (\frac{4826809}{2278125}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.5

Combina $2$ y $\frac{4826809}{2278125}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{2 \cdot 4826809}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.6

Multiplica $2$ por $4826809$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

Paso 3.3.2.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{13}{15}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{13^{5}}{15^{5}}$

Paso 3.3.2.1.8

Eleva $13$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{371293}{15^{5}}$

Paso 3.3.2.1.9

Eleva $15$ a la potencia de $5$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 (\frac{371293}{759375})$

Paso 3.3.2.1.10

Multiplica $- 13 (\frac{371293}{759375})$ .

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Paso 3.3.2.1.10.1

Combina $- 13$ y $\frac{371293}{759375}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 13 \cdot 371293}{759375}$

Paso 3.3.2.1.10.2

Multiplica $- 13$ por $371293$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 4826809}{759375}$

Paso 3.3.2.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375}$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $- \frac{4826809}{759375}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2278125$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $\frac{4826809}{759375}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{759375 \cdot 3}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $759375$ por $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{2278125}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 4826809 \cdot 3}{2278125}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $- 4826809$ por $3$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 14480427}{2278125}$

Paso 3.3.2.5.2

Resta $14480427$ de $9653618$ .

$f (\frac{13}{15}) = \frac{- 4826809}{2278125}$

Paso 3.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{13}{15}) = - \frac{4826809}{2278125}$

Paso 3.3.2.7

La respuesta final es $- \frac{4826809}{2278125}$ .

$- \frac{4826809}{2278125}$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\frac{13}{15}$ en $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ es $(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{13}{15}) \cup (\frac{13}{15}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 300 {(- 0.1)}^{4} - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 0.1) = 300 \cdot 0.0001 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $300$ por $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 \cdot - 0.001$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 260$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.03 + 0.26$

Paso 5.2.2

Suma $0.03$ y $0.26$ .

$f'' (- 0.1) = 0.29$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $0.29$ .

$0.29$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $0.29$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{13}{15})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.4\overline{3}$ en la expresión.

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 {(0.4\overline{3})}^{4} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $0.4\overline{3}$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 \cdot 0.03526049 - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $300$ por $0.03526049$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $0.4\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 \cdot 0.081\overline{370}$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $- 260$ por $0.081\overline{370}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 21.15629629$

Paso 6.2.2

Resta $21.15629629$ de $10.57\overline{814}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = - 10.57814814$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 10.57814814$ .

$- 10.57814814$

Paso 6.3

En $0.4\overline{3}$ , la segunda derivada es $- 10.57814814$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, \frac{13}{15})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{13}{15})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{13}{15}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.9\overline{6}$ en la expresión.

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 {(0.9\overline{6})}^{4} - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $0.9\overline{6}$ a la potencia de $4$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 \cdot 0.87318641 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $300$ por $0.87318641$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $0.9\overline{6}$ a la potencia de $3$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 \cdot 0.903\overline{296}$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 260$ por $0.903\overline{296}$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 234.85703703$

Paso 7.2.2

Resta $234.85703703$ de $261.95592592$ .

$f'' (0.9\overline{6}) = 27.09888888$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $27.09888888$ .

$27.09888888$

Paso 7.3

En $0.9\overline{6}$ , la segunda derivada es $27.09888888$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(\frac{13}{15}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{13}{15}, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ .

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

Paso 9