Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 4 x^{3} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $4 x^{3} - 12 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2} - 24 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $12 x$ de $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 7$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 7$

Paso 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 7$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 7$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 3.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 7$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $0$ y $7$ .

$f (0) = 7$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $7$ .

$7$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ es $(0, 7)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 7)$

Paso 3.3

Sustituye $2$ en $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 7$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3} + 7$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8 + 7$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$f (2) = 16 - 32 + 7$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $32$ de $16$ .

$f (2) = - 16 + 7$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $- 16$ y $7$ .

$f (2) = - 9$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 9$ .

$- 9$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 7$ es $(2, - 9)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, - 9)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 7), (2, - 9)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.1$ en la expresión.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 0.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

Paso 5.2.2

Suma $0.12$ y $2.4$ .

$f'' (- 0.1) = 2.52$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $2.52$ .

$2.52$

Paso 5.3

En $- 0.1$ , la segunda derivada es $2.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Paso 6.2.2

Resta $24$ de $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 6.3

En $1$ , la segunda derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(0, 2)$ .

Decrecimiento en $(0, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $2.1$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

Paso 7.2.2

Resta $50.4$ de $52.92$ .

$f'' (2.1) = 2.52$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2.52$ .

$2.52$

Paso 7.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $2.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 7), (2, - 9)$ .

$(0, 7), (2, - 9)$

Paso 9